Tính tổng\({1.3^0}{.5^{n - 1}}C_n^{n - 1} + {2.3^1...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Từ biểu thức xây dựng công thức tổng quát là \(k{.3^{k - 1}}{.5^{n - k}}C_n^{n - k}\)

Sử dụng công thức: \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!k!}}\)

Biến đổi về dạng \(n{.3^{k - 1}}{.5^{n - k}}.C_{n - 1}^{k - 1}\). Từ đó tính tổng mới.

Giải chi tiết:

Ta có: \(VT = \sum\limits_{k = 1}^n {k{{.3}^{k - 1}}{{.5}^{n - k}}C_n^{n - k}} \)

Mà:

 \(\begin{array}{l}k{.3^{k - 1}}{.5^{n - k}}C_n^{n - k} = {3^{k - 1}}{.5^{n - k}}\frac{{n!}}{{(n - k)!k!}}.k\\ = {3^{k - 1}}{.5^{n - k}}\frac{{n(n - 1)!}}{{\left[ {(n - 1) - (k - 1)} \right]!(k - 1)!}} = n{.3^{k - 1}}{.5^{n - k}}.C_{n - 1}^{k - 1}.\end{array}\)

Suy ra: với \(k = 1;\;2;\;3;\;.....;\;n\)

\(\begin{array}{l}VT = n\left( {{3^0}{{.5}^{n - 1}}C_{n - 1}^0 + {3^1}{{.5}^{n - 2}}C_{n - 1}^1 + ... + {3^{n - 1}}{5^0}C_{n - 1}^{n - 1}} \right)\\\;\;\;\;\; = n{(5 + 3)^{n - 1}} = n{.8^{n - 1}}.\end{array}\)

Chọn D