Tìm m để phương trình \(m\sin x + \cos x = \frac{{...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đưa phương trình về dạng: \(\sin \left( {x + \alpha } \right) = \sin \beta \)

+) Biện luận nghiệm của phương trình thu được

Giải chi tiết:

Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow {m^2} + 1 \ge {\left( {\frac{{2m}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }}} \right)^2}\)

     \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{m^2} + 1} \right)^2} \ge 4{m^2} \Leftrightarrow {m^2} + 2{m^2} + 1 \ge 4{m^2}\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2{m^2} + 1 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {{m^2} - 1} \right)^2} \ge 0\;\;\forall m.\end{array}\)

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi \(m.\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,m\sin x + \cos x = \frac{{2m}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }}\\ \Leftrightarrow \frac{m}{{\sqrt {{m^2} + 1} }}\sin x + \frac{1}{{\sqrt {{m^2} + 1} }}\cos x = \frac{{2m}}{{{m^2} + 1}}\end{array}\)

Đặt \(\frac{1}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \sin \alpha ;\,\,\frac{m}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \cos \alpha \,\,\,\,\left( {\alpha  \in \left[ {0;\pi } \right]} \right)\)

\(\begin{array}{l}PT \Leftrightarrow \sin x\cos \alpha  + \cos x\sin \alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha \\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \alpha } \right) = \sin 2\alpha \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \alpha  = 2\alpha  + k2\pi \\x + \alpha  = \pi  - 2\alpha  + m2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - 3\alpha  + m2\pi \end{array} \right.,\;k,\;m \in \mathbb{Z}.\end{array}\)

Để phương trình có nghiệm thuộc \(\left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]\) thì:  \(\left[ \begin{array}{l}0 < \alpha  + k2\pi  < \frac{\pi }{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\0 < \pi  - 3\alpha  + m2\pi  < \frac{\pi }{4}\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Vì \(\alpha  \in \left[ {0;\pi } \right]\) nên trong (1) ta chọn \(k = 0\); trong (2) chọn \(m = 0\) hoặc \(m = 1\).

Ta có:

\(\left[ \begin{array}{l}0 \le \alpha  \le \frac{\pi }{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\0 \le \pi  - 3\alpha  \le \frac{\pi }{4}\,\,\\0 \le \pi  - 3\alpha+2\pi  \le \frac{\pi }{4}\,\,\,\,\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le \alpha  \le \frac{\pi }{4}\,\,\\\frac{\pi }{4} \le \alpha  \le \frac{\pi }{3}\,\\\frac{{11\pi }}{{12}} \le \alpha  \le \pi \,\,\,\,\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 0 \le \sin \alpha  \le \sin \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow 0 \le \frac{1}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} \le \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left| m \right| \ge \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

Chọn A.