Tìm tất cả giá trị nguyên của \(m\) để phương trìn...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi \({\sin ^2}x\) về \(\cos 2x\)

Đưa phương trình đã cho về dạng \(a\sin 2x + b\cos 2x = c.\)

Khi đó phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge {c^2}.\) 

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;8{\sin ^2}x + \left( {m - 1} \right)\sin 2x + 2m - 6 = 0\\ \Leftrightarrow 8.\frac{{1 - \cos 2x}}{2} + \left( {m - 1} \right)\sin 2x + 2m - 6 = 0\\ \Leftrightarrow 4 - 4\cos 2x + \left( {m - 1} \right)\sin 2x + 2m - 6 = 0\\ \Leftrightarrow 4\cos 2x - \left( {m - 1} \right)\sin 2x = 2m - 2\end{array}\).

Phương trình có nghiệm:

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {4^2} + {\left( {m - 1} \right)^2} \ge {\left( {2m - 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 16 + {m^2} - 2m + 1 \ge 4 - 8m + 4{m^2}\\ \Leftrightarrow 3{m^2} - 6m - 13 \le 0\\ \Leftrightarrow \frac{{3 - 4\sqrt 3 }}{3} \le m \le \frac{{3 + 4\sqrt 3 }}{3}\end{array}\)

Vì \(m \in Z\)\( \Rightarrow m = \left\{ { - 1;\,\;0;\;\,1;\;\,2;\,\;3} \right\}.\)

Chọn B