Cho biểu thức  \(P = \left( {\frac{1}{{\sqrt x  -...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

+) Sử dụng biểu thức liên hợp.

+) Đặt nhân tử chung.

+) Rút gọn các phân thức trước khi tiến hành tính toán.

Giải chi tiết:

Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi : \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x  > 0\\\sqrt {x - 1}  \ge 0\\\sqrt 2  - \sqrt x  \ne 0\\\sqrt {x - 1}  - \sqrt 2  \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ge 1\\x \ne 2\\x \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \ne 2\\x \ne 3\end{array} \right.\)

ĐKXĐ: \(x \ge 1;x \ne 2;x \ne 3\)

  \(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{1}{{\sqrt x  - \sqrt {x - 1} }} - \frac{{x - 3}}{{\sqrt {x - 1}  - \sqrt 2 }}} \right)\left( {\frac{2}{{\sqrt 2  - \sqrt x }} - \frac{{\sqrt x  + \sqrt 2 }}{{\sqrt {2x}  - x}}} \right)\\P = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt x  + \sqrt {x - 1} } \right)}}{{\left( {\sqrt x  - \sqrt {x - 1} } \right)\left( {\sqrt x  + \sqrt {x - 1} } \right)}} - \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x - 1}  + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt {x - 1}  - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt {x - 1}  + \sqrt 2 } \right)}}} \right]\left[ {\frac{2}{{\sqrt 2  - \sqrt x }} - \frac{{\sqrt x  + \sqrt 2 }}{{\sqrt x \left( {\sqrt 2  - \sqrt x } \right)}}} \right]\\P = \left[ {\frac{{\sqrt x  + \sqrt {x - 1} }}{{x - \left( {x - 1} \right)}} - \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x - 1}  + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {x - 1} \right) - 2}}} \right].\frac{{2\sqrt x  - \sqrt x  - \sqrt 2 }}{{\sqrt x \left( {\sqrt 2  - \sqrt x } \right)}}\\P = \left( {\frac{{\sqrt x  + \sqrt {x - 1} }}{{x - x + 1}} - \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x - 1}  + \sqrt 2 } \right)}}{{x - 3}}} \right).\frac{{ - \left( {\sqrt 2  - \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt 2  - \sqrt x } \right)}}\\P = \left( {\sqrt x  + \sqrt {x - 1}  - \sqrt {x - 1}  - \sqrt 2 } \right).\frac{{ - 1}}{{\sqrt x }} = \frac{{\left( {\sqrt x  - \sqrt 2 } \right).\left( { - 1} \right)}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt 2  - \sqrt x }}{{\sqrt x }}\end{array}\)

Ta có: \(x = 3 + 2\sqrt 2  = {\left( {\sqrt 2  + 1} \right)^2} \Rightarrow \sqrt x  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  + 1} \right)}^2}}  = \left| {\sqrt 2  + 1} \right| = \sqrt 2  + 1\,\,\left( {Do\,\,\sqrt 2  + 1 > 0} \right)\)

Thay \(\sqrt x  = \sqrt 2  + 1\) vào biểu thức \(P = \frac{{\sqrt 2  - \sqrt x }}{{\sqrt x }}\), ta có: \(P = \frac{{\sqrt 2  - \sqrt 2  - 1}}{{\sqrt 2  + 1}} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2  + 1}} =  - \sqrt 2  + 1\).

Vậy khi \(x = 3 + 2\sqrt 2 \) thì \(P =  - \sqrt 2  + 1\).