Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) với \(...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm mối quan hệ \(a,b,c\) dựa vào hoành độ hai điểm cực trị.

+) Xét phương trình \(f\left( x \right) = f\left( m \right)\) và tìm điều kiện để phương trình có \(3\) nghiệm phân biệt.

Giải chi tiết:

\(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)

Do hàm số có hoành độ hai điểm cực trị là \({x_1} = 1,{x_2} = 3\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}4 = {x_1} + {x_2} =  - \frac{{2b}}{{3a}}\\3 = {x_1}{x_2} = \frac{c}{{3a}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 6a\\c = 9a\end{array} \right.\)

Xét phương trình \(f\left( x \right) = f\left( m \right)\) ta được:

\(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = a{m^3} + b{m^2} + cm + d\) \( \Leftrightarrow a\left( {{x^3} - {m^3}} \right) + b\left( {{x^2} - {m^2}} \right) + c\left( {x - m} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow a\left( {{x^3} - {m^3}} \right) - 6a\left( {{x^2} - {m^2}} \right) + 9a\left( {x - m} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {{x^2} + mx + {m^2}} \right) - 6\left( {x - m} \right)\left( {x + m} \right) + 9\left( {x - m} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left[ {{x^2} + mx + {m^2} - 6x - 6m + 9} \right] = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left[ {{x^2} + \left( {m - 6} \right)x + {m^2} - 6m + 9} \right] = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - m = 0\\{x^2} + \left( {m - 6} \right)x + {m^2} - 6m + 9 = 0\end{array} \right.\)

Để phương trình \(f\left( x \right) = f\left( m \right)\) có ba nghiệm phân biệt thì phương trình \({x^2} + \left( {m - 6} \right)x + {m^2} - 6m + 9 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác \(m\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = {\left( {m - 6} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 6m + 9} \right) > 0\\{m^2} + \left( {m - 6} \right).m + {m^2} - 6m + 9 \ne 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3{m^2} + 12m > 0\\3{m^2} - 12m + 9 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < m < 4\\m \ne 1,m \ne 3\end{array} \right.\)

Vậy \(m \in \left( {0;4} \right)\backslash \left\{ {1;3} \right\}\).

Chọn D.