Xác định \(a\) sao cho phương trình \({x^4} - a{x^...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương trình đối xứng: \(a{x^4} \pm b{x^3} + c{x^2} \pm kbx + {k^2}a = 0\,\,\left( {k > 0} \right)\) (1)

+) Thay \(x = 0\) vào phương tình xem thỏa mãn là nghiệm?

+) Với \(x \ne 0.\)  Chia đều 2 vế phương trình cho \({x^2} \ne 0\): \(pt \Leftrightarrow a\left( {{x^2} + \frac{{{k^2}}}{{{x^2}}}} \right) \pm \left( {x + \frac{k}{x}} \right) + c = 0\)

+) Đặt \(t = x + \frac{k}{x}\,\,\left( {\left| t \right| \ge 2\sqrt k } \right) \Rightarrow {x^2} + \frac{{{k^2}}}{{{x^2}}} = {t^2} - 2k\)

\( \Rightarrow a\left( {{t^2} - 2k} \right) \pm bt + c = 0 \Rightarrow \) Phương trình bậc 2.

(1) có 2 nghiệm \(x\)  phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 2 \right)\) có hai nghiệm trái dấu hoặc có nghiệm kép dương  \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}ac < 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta  = 0\\\frac{{ - b}}{{2a}} > 0\,\,\left( {S > 0} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Giải chi tiết:

\({x^4} - a{x^3} - \left( {2a + 1} \right){x^2} + ax + 1 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Với \(x = 0\) ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 1 = 0\,\) (vô lý)\( \Rightarrow x = 0\) không là nghiệm của phương trình.

Với \(x \ne 0\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x^4} - a{x^3} - \left( {2a + 1} \right){x^2} + ax + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - ax - \left( {2a + 1} \right) - \frac{a}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) - a\left( {x - \frac{1}{x}} \right) - 2a - 1 = 0\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Đặt  \(t = x - \frac{1}{x} \Rightarrow {t^2} = {x^2} - 2 + \frac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow {t^2} + 2 = {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}\)

\( \Rightarrow \left( 2 \right) \Leftrightarrow {t^2} + 2 - at - 2a - 1 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - at - 2a + 1 = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Tương ứng với mỗi \(t > 0\) ứng với một \(x > 1\)

Do đó, yêu cầu bài toán thoả mãn  \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm dương phân biệt

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta  > 0}\\{S > 0}\\{P > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} - 4\left( {1 - 2a} \right) > 0}\\{a > 0}\\{1 - 2a > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + 8a - 4 > 0}\\{a > 0}\\{a < \frac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x >  - 4 + 2\sqrt 5 \\x <  - 4 - 2\sqrt 5 \end{array} \right.\\0 < a < \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 4 + 2\sqrt 5  < a < \frac{1}{2}} \right.} \right.} \right.\) 

Chọn  A.