Tổng các nghiệm của phương trình \(\cos 2\left( {x...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Đưa về phương trình bậc hai ẩn \(\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right)\)

- Giải và tìm nghiệm thõa mãn nằm trong \(\left[ {0;20\pi } \right]\).

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\cos 2\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 4\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{5}{2}\\ \Leftrightarrow  - \cos \left[ {\pi  - 2\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)} \right] + 4\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{5}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{3} - 2x} \right) - 4\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) + \frac{5}{2} = 0\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - 1 - 4\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) + \frac{5}{2} = 0\\ \Leftrightarrow 4{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - 8\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) + 3 = 0\;\;\;\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \(\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = t\;\;\left( { - 1 \le t \le 1} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 4{t^2} - 8t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {2t - 1} \right)\left( {2t - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2t - 1 = 0\\2t - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}\;\;\left( {tm} \right)\\t = \frac{3}{2}\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{6} - x = \frac{\pi }{3} - k2\pi \\\frac{\pi }{6} - x =  - \frac{\pi }{3} - m2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + m2\pi \end{array} \right.,k,\;m \in \mathbb{Z}\end{array}\)

Ta có: \(\left[ \begin{array}{l}0 \le  - \frac{\pi }{6} + k2\pi  \le 20\pi  \Leftrightarrow 0,083 \le k \le 10,08 \Rightarrow k \in \left\{ {1;2;...;10} \right\}\\0 \le \frac{\pi }{2} + m2\pi  \le 20\pi  \Leftrightarrow  - 0,25 \le m \le 9,75 \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;2;...;9} \right\}\end{array} \right.\)

Tổng các nghiệm cần tìm là:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\sum\limits_{k = 1}^{10} {\left( { - \frac{\pi }{6} + k2\pi } \right)}  + \sum\limits_{m = 0}^9 {\left( {\frac{\pi }{2} + m2\pi } \right)}  = 2\pi \left( {\sum\limits_{k = 1}^{10} k  + \sum\limits_{m = 0}^9 m } \right) + 10\left( {\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{6}} \right)\\ = 2\pi \left[ {\frac{{10\left( {10 + 1} \right)}}{2} + \frac{{9\left( {9 + 1} \right)}}{2}} \right] = 200\pi  + \frac{{10\pi }}{3} = \frac{{610\pi }}{3}\end{array}\)

Chọn C.