Giải phương trình \(\dfrac{3}{{{{\cos }^2}x}} + 3{...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức \(\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x\).

- Đặt \(t = \tan x + \cot x\,\,\left( {\left| t \right| \ge 2} \right)\) thì\({\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} - 2\).

- Đưa phương trình về phương trình bậc hai ẩn \(t\). Giải phương trình tìm \(t\), sau đó thay lại để tìm \(x\).

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{3}{{{{\cos }^2}x}} + 3{\cot ^2}x + 4\left( {\tan x + \cot x} \right) - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 3\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) + 3{\cot ^2}x + 4\left( {\tan x + \cot x} \right) - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 3\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right) + 4\left( {\tan x + \cot x} \right) + 2 = 0\end{array}\)

Đặt \(t = \tan x + \cot x\,\,\left( {\left| t \right| \ge 2} \right)\) ta có \({\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} - 2\).

Khi đó phương trình trở thành: \(3\left( {{t^2} - 2} \right) + 4t + 2 = 0 \Leftrightarrow 3{t^2} + 4t - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{2}{3}\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t =  - 2\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Với \(t =  - 2 \Rightarrow \tan x + \cot x =  - 2 \Leftrightarrow \tan x + \dfrac{1}{{\tan x}} =  - 2\)

\( \Leftrightarrow {\tan ^2}x + 2\tan x + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {\tan x + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \tan x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Chọn A