Giải phương trình \(1 + \tan x = 2\sqrt 2 \sin x\)...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện xác định.

- Đặt \(t = \sin x + \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Giải chi tiết:

ĐK: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + m\pi \,\,\left( {m \in \mathbb{Z}} \right)\).

\(1 + \tan x = 2\sqrt 2 \sin x \Leftrightarrow 1 + \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} = 2\sqrt 2 \sin x \Leftrightarrow \sin x + \cos x = 2\sqrt 2 \sin x\cos x\)

Đặt \(t = \sin x + \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Khi đó phương trình trở thành \(t = \sqrt 2 \left( {{t^2} - 1} \right) \Leftrightarrow \sqrt 2 {t^2} - t - \sqrt 2  = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \sqrt 2 \\t =  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\).

Với \(t = \sqrt 2  \Rightarrow \sin x + \cos x = \sqrt 2  \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi  \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Với \(t =  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \sin x + \cos x =  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - \dfrac{1}{2}\).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{4} =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \\x = \dfrac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Chọn D