Cho \(a\) và \(b\) là các số thực khác 0. Biết  \(...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {ax - \sqrt {{x^2} + bx + 2} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x\left( {a - \sqrt {1 + \frac{b}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} } \right).\)

Từ đó tìm điều kiện của \(a\) để giới hạn đã cho là giới hạn hữu hạn sau đó tìm \(b.\)

Từ đó tính giá trị biểu thức \(a + b.\)

Giải chi tiết:

Ta có:  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {ax - \sqrt {{x^2} + bx + 2} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x\left( {a - \sqrt {1 + \frac{b}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} } \right).\)

+) Nếu \(a \ne 1\)  thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {ax - \sqrt {{x^2} + bx + 2} } \right) = \infty \) .

+) Nếu  \(a = 1\)  ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {x - \sqrt {{x^2} + bx + 2} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\left( {x - \sqrt {{x^2} + bx + 2} } \right)\left( {x + \sqrt {{x^2} + bx + 2} } \right)}}{{x + \sqrt {{x^2} + bx + 2} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - bx - 2}}{{x + \sqrt {{x^2} + bx + 2} }} =  - \frac{b}{2}\)

Vậy \( - \frac{b}{2} = 3 \Leftrightarrow b =  - 6\).  Do đó \(a + b =  - 5\) .

Chọn D.