Cho parabol (P) có phương trình \(y = {x^2}\) và đ...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x),\,\,y = g(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a;\,\,x = b\) được tính theo công thức : \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \).

Giải chi tiết:

Phương trình đường thẳng d là: \(y = k\left( {x - 1} \right) + 3 \Leftrightarrow y = kx - k + 3\)

Xét phương trình \({x^2} = kx - k + 3 \Leftrightarrow {x^2} - kx + k - 3 = 0\) (*)

\(\Delta  = {k^2} - 4k + 12 = {\left( {k - 2} \right)^2} + 6 > 0,\,\,\forall k \Rightarrow d\) luôn cắt \(\left( P \right)\)tại 2 điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\),\(\left( {{x_1} > {x_2}} \right)\) là nghiệm của (*) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = k\\{x_1}{x_2} = k - 3\end{array} \right.\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng d:

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {kx - k + 3 - {x^2}} \right)dx}  = \left. {\left( {\dfrac{1}{2}k{x^2} - \left( {k - 3} \right)x - \dfrac{1}{3}{x^3}} \right)} \right|_{{x_1}}^{{x_2}}\\\,\,\,\, = \left( {\dfrac{1}{2}kx_1^2 - \left( {k - 3} \right){x_1} - \dfrac{1}{3}x_1^3} \right) - \left( {\dfrac{1}{2}kx_2^2 - \left( {k - 3} \right){x_2} - \dfrac{1}{3}x_2^3} \right)\\\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}k\left( {x_1^2 - x_2^2} \right) - \left( {k - 3} \right)\left( {{x_1} - {x_2}} \right) - \dfrac{1}{3}\left( {x_1^3 - x_2^3} \right)\\\,\,\,\, = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {\dfrac{1}{2}k\left( {x_1^{} + x_2^{}} \right) - \left( {k - 3} \right) - \dfrac{1}{3}\left( {{{\left( {x_1^{} + x_2^{}} \right)}^2} - {x_1}{x_2}} \right)} \right]\\\,\,\,\, = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {\dfrac{1}{2}k.k - \left( {k - 3} \right) - \dfrac{1}{3}\left( {{k^2} - \left( {k - 3} \right)} \right)} \right]\\\,\,\,\, = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {\dfrac{1}{6}{k^2} - \dfrac{2}{3}k + 2} \right)\\\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{6}\sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \left( {{k^2} - 4k + 12} \right)\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{6}\sqrt {{k^2} - 4k + 12} .\left( {{k^2} - 4k + 12} \right) = \dfrac{1}{6}{\sqrt {{k^2} - 4k + 12} ^3}\end{array}\)

Ta có \({k^2} - 4k + 12 = {\left( {k - 2} \right)^2} + 8 \ge 8 \Rightarrow S \ge \dfrac{1}{6}\sqrt[3]{8} = \dfrac{1}{3}\). Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow k = 2\).

Vậy, giá trị thực của k thuộc khoảng \(\left( {0;3} \right)\).

Chọn: C