Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 2}}\,\,\lef...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(y = x + m\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại hai điểm thuộc hai nhánh

\( \Leftrightarrow \) Phương trình  \(\dfrac{{2x + 1}}{{x - 2}}\,\, = x + m\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \({x_1} < 2 < {x_2}\)

Giải chi tiết:

Đường thẳng \(y = x + m\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại hai điểm thuộc hai nhánh

\( \Leftrightarrow \) Phương trình  \(\dfrac{{2x + 1}}{{x - 2}}\,\, = x + m\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \({x_1} < 2 < {x_2}\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) < 0\)\( \Leftrightarrow {x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 < 0\))      (*)

Ta có: \(\dfrac{{2x + 1}}{{x - 2}}\,\, = x + m,\,\,\left( {x \ne 2} \right)\, \Leftrightarrow 2x + 1 = {x^2} - 2x + mx - 2m\, \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 4} \right)x - 2m - 1 = 0\)

(*) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\\left( { - 2m - 1} \right) - 2\left( {4 - m} \right) + 4 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 4} \right)^2} + 4\left( {2m + 1} \right) > 0\\\left( { - 2m - 1} \right) - 2\left( {4 - m} \right) + 4 < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 20 > 0\\ - 5 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \mathbb{R}\)

Vậy, đường thẳng \(y = x + m\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại hai điểm thuộc hai nhánh với mọi \(m \in \mathbb{R}\).

Chọn: D