Cho tam giác cân \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\le...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựa vào các tam giác đặc biệt .

Giải chi tiết:

Phần thuận:

\(AB = AC = R\sqrt 2 \,\,\left( {gt} \right)\), \(AB,\,\,AC\) là dây cung của \(\left( {O;R} \right)\) nên \(AB,\,\,AC\) là các cạnh của hình vuông nội tiếp \(\left( {O;R} \right)\) suy ra tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\), suy ra \(BC\) là đường kính của \(\left( {O;R} \right)\), \(\angle CID = 2\angle CMD = {90^0}\).

Ta có \(\angle CMD = {45^0}\) suy ra \(\angle CMD\) nhọn.

\(\Delta ICD\) có \(IC = ID\,\,\left( { = R} \right)\) suy ra \(\Delta ICD\) vuông cân tại \(I\), \( \Rightarrow \angle ICD = \angle IDC = {45^0}\).

Ngoài ra  \(\angle ACB = {45^0}\) do đó \(\angle ACI = {90^0}\) và \(AC\) cố định, \(Cx \bot AC\) tại \(C\).

Giới hạn:

Khi \(M \equiv C\) thì \(I \equiv C\).

Khi \(M \equiv A\) thì \(I\) chạy vô tận trên tia \(Cx\).

Vậy \(I\) chuyển đông trên tia \(Cx \bot AC\) tại \(C\).

Phần đảo:

Lấy \(I\) bất kì thuộc \(Cx\). Vẽ đường tròn \(\left( {I;IC} \right)\), đường tròn này cắt \(BC\) tại \(B\), cắt \(\left( O \right)\) tại \(M\).

Tứ giác \(BAMC\) nội tiếp \( \Rightarrow \angle ABC + \angle AMC = {180^0} \Rightarrow \angle AMC = {135^0}\).

\(\Delta ICD\) có \(IC = ID\,\,\left( { = r} \right) \Rightarrow \angle IDC = {45^0} \Rightarrow \angle CDI = {90^0}\) nên \(A,\,\,M,\,\,D\)  thẳng hàng.

Kết luận: Tập hợp các điểm \(I\) của tâm đường tròn ngoại tiếp \(MCD\) là tia \(Cx \bot AC\) tại \(C\).