Chứng minh \(A = n\left( {n + 1} \right)\left( {n...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Ta đi chứng minh \(A\) kẹp giữa hai số chính phương liên tiếp.

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}A + 1 = n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right) + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{n^2} + 3n} \right)\left( {{n^2} + 3n + 2} \right) + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {{n^2} + 3n} \right)^2} + 2\left( {{n^2} + 3n} \right) + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {{n^2} + 3n + 1} \right)^2}\end{array}\)

Mặt khác: \({\left( {{n^2} + 3n} \right)^2} < {\left( {{n^2} + 3n} \right)^2} + 2\left( {{n^2} + 3n} \right) < {\left( {{n^2} + 3n + 1} \right)^2}\).

Hay \({\left( {{n^2} + 3n} \right)^2} < A < A + 1\).

\( \Rightarrow A\) không là số chính phương.