Cho đường tròn tâm \(\left( O \right)\) đường kính...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh tứ giác \(AOHC\) có tổng hai góc đổi bằng \({180^0}\).

b) Chứng minh hai tam giác \(\Delta ADC\) và \(\Delta EAC\) đồng dạng theo trường hợp góc-góc.

c) Chứng minh hai tam giác \(\Delta ADH\) và \(\Delta NBO\) đồng dạng, từ đó chứng minh hai tam giác \(\Delta ADE\) và \(\Delta NBA\) đồng dạng.

     Chứng minh \(\angle NAB = \angle ABD\), từ đó suy ra \(AN\parallel BM\),

     Chứng minh \(\Delta AON = \Delta BOM\), từ đó suy ra \(AN = BM\). Khi đó ta suy ra được điều phải chứng minh.

Giải chi tiết:

a) Ta có: \(\angle OAC = \angle OHC = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\) \( \Rightarrow \angle OAC + \angle OHC = {180^0}\) \( \Rightarrow \) Tứ giác \(AOHC\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).

b) Xét \(\Delta ADC\) và \(\Delta EAC\):

\(\angle CAD = \angle AEC\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(AD\));

\(\widehat C\) chung;

\( \Rightarrow \Delta ADC \sim \Delta EAC\,\,\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{EA}} = \dfrac{{AC}}{{EC}} \Rightarrow AD.EC = AC.AE\)

c) Xét \(\Delta ADH\) và \(\Delta NBO:\)

\(\angle ADH = \angle NBO\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AE\)).

\(\angle AHD = \angle AOC\) (do tứ giác \(CAOH\) nội tiếp)

\(\angle AOC = \angle NOB\) (đối đỉnh) \( \Rightarrow \angle AHD = \angle NOB\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ADH \sim \Delta NBO\,\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{NB}} = \dfrac{{DH}}{{BO}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}DE}}{{\dfrac{1}{2}BA}} = \dfrac{{DE}}{{BA}}\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{DE}} = \dfrac{{NB}}{{BA}} \Rightarrow \Delta ADE \sim \Delta NBA\,\,\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow \angle AED = \angle NAB\). Mà \(\angle AED = \angle ABD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AD\)) nên \(\angle NAB = \angle ABD\).

Mà hai góc này ở vị trí hai góc so le trong bằng nhau, do đó \(AN\parallel BM\).

Xét \(\Delta AON\) và \(\Delta BOM\) có:

\(AO = BO\,\,\,\left( {gt} \right)\)

\(\angle AON = \angle BOM\) (đối đỉnh)

\(\angle OAN = \angle OBM\) (so le trong do \(AN\parallel BM\)).

\( \Rightarrow \Delta AON = \Delta BOM\,\,\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow AN = BM\)

Xét tứ giác \(AMBN\) có \(AN = BM,\,\,AN\parallel BM\) nên \(AMBN\) là hình bình hành (dhnb).