1) Cho hình bình hành \(ABCD\)  có \(\angle ABC &g...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Áp dụng tích chất tứ giác nội tiếp đường tròn.

2) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương.

Giải chi tiết:

1) 

Xét tứ giác BFDE có E,F đều nhìn BD dưới 1 góc vuông, I là trung điểm của BD

Nên BFDE nội tiếp đường tròn (I) đường kính BD

\( \Rightarrow \)\(IB = IF = ID = IE\)và\(\angle FDB = \angle BEF,\,\angle EDB = \angle BFE\) (1)
\( \Rightarrow \Delta IFD\)cân tại I \( \Rightarrow \angle IFD = \angle IDF\)(t/c)

mà \(\begin{array}{l}\angle BIF = \angle IFD + \angle IDF\\ \Rightarrow \angle BIF = 2\angle IDF\end{array}\)

Cm tương tự ta có: \(\angle BIE = 2\angle IDE\)

\( \Rightarrow \angle FIE = 2\angle FDE\)(*)

Có  \(\angle FKE = {180^0} - \angle FKC - \angle EKA = {180^0} - \angle FDC - \angle EDA = \angle FDE + \angle ADx\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

(Vì F, K, C, D cùng thuộc 1 đường tròn E,K,A,D cùng thuộc 1 đường tròn)

(1) \( \Rightarrow \angle FDE = \angle BEF + \angle BFE = {180^0} - \angle EBF = \angle ADx\)(3)

Từ (2), (3) suy ra: \(\angle FKE = 2\angle FDE\,\,\,\left( {**} \right)\)

(*) và (**) suy ra: \(\angle FIE = \angle FKE\)

Suy ra E,F,I,K cùng thuộc 1 đường tròn (đpcm)

2) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương, ta có:

\(\begin{array}{l}8{y^2} + \frac{1}{2}{x^2} \ge 2.\sqrt {8{y^2}.\frac{1}{2}{x^2}}  = 4xy\\8{z^2} + \frac{1}{2}{x^2} \ge 2.\sqrt {8{z^2}.\frac{1}{2}{x^2}}  = 4xz\\8{y^2} + 8{z^2} \ge 2.\sqrt {8{y^2}.8{z^2}}  = 16yz\end{array}\)

Cộng 2 vế của 3 bất phương trình với nhau ta được:

\(P = {x^2} + 16{y^2} + 16{z^2} \ge 4xy + 4xz + 16yz = 4\left( {xy + xz + 4yz} \right) = 4.32 = 128\)
(do\(xy + xz + 4yz = 32\))

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(8{y^2} = 8{z^2} = \frac{1}{2}{x^2}\)

\( \Rightarrow y = z = \frac{1}{4}x\) thay vào pt:\(xy + xz + 4yz = 32\) ta tính được \(x = \frac{{8\sqrt 6 }}{3},\,y = z = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P = 128\) khi \(x = \frac{{8\sqrt 6 }}{3},\,y = z = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\)

Chọn C.