Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: \({x...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Vai trò của \(x,y,z\)như nhau. Ta giả sử \(1 \le x \le y \le z\).  Sau đó đánh giá để tìm ra nghiệm.

Giải chi tiết:

Do vai trò bình đẳng của \(x,y,z\) nên có thể giả sử \(1 \le x \le y \le z\). Từ đó:

\({x^2} + {y^2} + {z^2} + xyz > 3{x^2} + {x^2} = 4{x^2} \Rightarrow 4{x^2} \le 20 \Rightarrow {x^2} \le 5 \Rightarrow x \le 2\)

Xét trường hợp sau

a) Với \(x = 1\)thì \({y^2} + {z^2} + yz = 19 \Rightarrow {y^2} + {y^2} + {y^2} \le 19 \Rightarrow {y^2} = \frac{{19}}{3} \Rightarrow y \le 2\)

+ Nếu \(y = 1 \Rightarrow {z^2} + z = 18 \Rightarrow z(z + 1) = 18:(4)\)Vô nghiệm

+ Nếu \(y = 2 \Rightarrow {z^2} + 2z - 15 = 0 \Rightarrow z = 3:(4)\)có nghiệm là \(\left( {1;2;3} \right)\)

b) Với \(x = 2\) ta có:

\(4 + {y^2} + {z^2} + 2yz = 20 \Rightarrow {y^2} + {z^2} + 2yz = 16 \Rightarrow {y^2} + {y^2} + 2{y^2} \le 16 \Rightarrow 4{y^2} \le 16 \Rightarrow y \le 2\)

Với \(y = 2 \Rightarrow {z^2} + 4z = 12 \Rightarrow z = 2 \Rightarrow \left( {x;y;z} \right) = \left( {2;2;2} \right)\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(\left( {2;2;2} \right),\left( {1;2;3} \right)\) và các hoán vị của chúng.

Chọn C.