Cho $\Delta MNP\left( {MN < MP} \right).$ Phâ...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh- góc- cạnh.

b) Nhớ rằng: Đường phân giác của tam giác chính là đường cao, đường trung tuyến. Khi đó đường đó chính là đường trung trực của cạnh đối diện.

c) Sử dụng lý thuyết về góc ngoài của một tam giác để chỉ ra $\angle {N_1} = \angle {E_1}$

Rồi chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường gợp góc- cạnh – góc.

d) Chỉ ra $DN < DF$ mà $DF = DP \Rightarrow DN < DP$ (đpcm).

Giải chi tiết:

a) Xét $\Delta MDN\& \Delta MDE$ có:

$\begin{array}{l}MD\,chung\\\angle {M_1} = \angle {M_2}\\MN = ME\left( {gt} \right)\end{array}$

$\Rightarrow \Delta MDN = \Delta MDE\left( {c - g - c} \right)$ (đpcm).

b) Xét tam giác $MNE$ có: $MN = ME\left( {gt} \right)$ $\Rightarrow \Delta MNE$ là tam giác cân.

Mà $MD$ là đường phân giác góc M $\Rightarrow MH$ là đường cao hạ từ đỉnh M. xuống cạnh đáy NE

$\Rightarrow MD$ là trung trực của đoạn thẳng NE. (đpcm). 

c) Chứng minh $\Delta NFD = \Delta EPD$

+) Ta có: $\angle {N_1} = \angle {D_2} + \angle {M_1}$ (Góc ngoài của $\Delta MDN$)

                $\angle {E_1} = \angle {D_3} + \angle {M_2}$ (góc ngoài của $\Delta MDE$)

Mà $\angle {D_2} = \angle {D_3}$ (do $\Delta MDN = \Delta MDE\left( {cmt} \right)$)

Và $\angle {M_1} = \angle {M_2}\,\left( {gt} \right)$

$\Rightarrow \angle {N_1} = \angle {E_1}$

+) Xét $\Delta NFD\& \Delta EPD$

Ta có:

$\angle {N_1} = \angle {E_1}\,\left( {cmt} \right)$

$DN = DE\,\,$do $\Delta MDN = \Delta MDE\left( {c - g - c} \right) \Rightarrow DN = {\rm{D}}E$(cạnh tương ứng).

$\angle {D_1} = \angle {D_4}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta NFD = \Delta EPD\left( {g - c - g} \right)$ (đpcm).

d) Ta thấy: Trong $\Delta MDF$ có: $N \in \,MF \Rightarrow DN < DF$

Mà $DF = DP$ (do $\Delta NFD = \Delta EPD\left( {cmt} \right)$). Do đó: $DN < DP$ (đpcm).