Cho 19 điểm nằm trong hay nằm trên cạnh của một lụ...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của tam giác đều.

Giải chi tiết:

+ Giả sử 19 điểm đã cho nằm trong hoặc nằm trên cạnh của lục giác đều \(ABCDEF\) nội tiếp đường tròn tâm \(O.\)

+ Nối \(O\) với 6 đỉnh của lục giác tạo thành 6 tam giác đều. Khi đó sẽ có ít nhất 4 điểm nằm trong hay trên cạnh của một tam giác đều trong số 6 tam giác đó (theo nguyên lý Dirichlet).

+ Giả sử 4 điểm trong 19 điểm đó cũng nằm trong hay nằm trên cạnh của tam giác đều \(OAB\) có trọng tâm \(G\).

+ Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng \(AB,\,\,OB,\,\,OA\). \(\Delta OAB\) đều và \(OA = OB = AB = 3\,cm\) nên:

\(BG = OG = AG = \dfrac{2}{3}AN = \dfrac{2}{3}\sqrt {O{A^2} - O{N^2}}  = \dfrac{2}{3}\sqrt {{3^2} - {{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt 3 cm\)

Khi đó ba tứ giác \(BMGN,\,\,\,ONGP,\,\,AMGP\) là các tứ giác nội tiếp các đường tròn có đường kính \(BG = OG = AG = \sqrt 3 cm\)

+ Bốn điểm nằm trong hay nằm trên cạnh của \(OAB\) sẽ có ít nhất hai điểm nằm trong một trong ba hình tròn đường kính \(\sqrt 3 cm\). Khoảng cách giữa hai điểm đó không quá \(\sqrt 3 cm\) (đpcm).