(Trích đề thi HSG tỉnh Hải Dương 2009).

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Thêm bớt hạng tử để tạo thành hằng đẳng thức, sau đó đưa vế trái về dạng tích.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{x^2} - 2xy + 3y - 5x + 7 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x\left( {2y + 5} \right) + \frac{{{{\left( {2y + 5} \right)}^2}}}{4} - \frac{{{{\left( {2y + 5} \right)}^2}}}{4} + 3y + 7 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{{2y + 5}}{2}} \right)^2} + \frac{{ - 4{y^2} - 20y - 25 + 12y + 28}}{4} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{{2y + 5}}{2}} \right)^2} - \frac{{4{y^2} + 8y - 3}}{4} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{{2y + 5}}{2}} \right)^2} - \frac{{4{{\left( {y + 1} \right)}^2} - 7}}{4} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{{2y + 5}}{2}} \right)^2} - {\left( {y + 1} \right)^2} =  - \frac{7}{4}\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {2x - 2y - 5} \right)}^2}}}{4} - {\left( {y + 1} \right)^2} = \frac{{ - 7}}{4}\\ \Leftrightarrow {\left( {2x - 2y - 5} \right)^2} - 4{\left( {y + 1} \right)^2} =  - 7\\ \Leftrightarrow \left( {2x - 2y - 5 - 2y - 2} \right)\left( {2x - 2y - 5 + 2y + 2} \right) =  - 7\\ \Leftrightarrow \left( {2x - 4y - 7} \right)\left( {2x - 3} \right) =  - 7\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Vì \(x;y\) nguyên nên từ phương trình \(\left( * \right)\) ta có các trường hợp sau:

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 4y - 7 = 1\\2x - 3 =  - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y =  - 3\end{array} \right.\)

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 4y - 7 =  - 7\\2x - 3 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\)

TH3: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 4y - 7 =  - 1\\2x - 3 = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 1\end{array} \right.\)

TH4: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 4y - 7 = 7\\2x - 3 =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 3\end{array} \right.\)

Vậy các nghiệm nguyên \(\left( {x;y} \right)\) của phương trình là: \(\left( { - 2; - 3} \right);\,\,\left( {2;1} \right);\,\,\left( {5;1} \right);\,\,\left( {1; - 3} \right)\).

Chọn B.