Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Xác định góc giữa SC và mặt đáy là góc $\widehat{SCH}$

+) Tính đường cao SH.

+) Tính diện tích đáy ABCD.

+) Tính thể tích $V=\frac{1}{3}Sh$

Giải chi tiết:

Tam giác ABD đều cạnh a nên BD = a $\Rightarrow HI=\frac{a}{4}$  và $AI=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AI=IC=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác vuông IHC có $HC=\sqrt{I{{C}^{2}}+I{{H}^{2}}}=\sqrt{\frac{3{{a}^{2}}}{4}+\frac{{{a}^{2}}}{16}}=\frac{a\sqrt{13}}{4}$

$SH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow \widehat{\left( SC;\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SC;HC \right)}=\widehat{SCH}={{45}^{0}}.$

$\Rightarrow \Delta SHC$ vuông cân tại H $\Rightarrow SH=HC=\frac{a\sqrt{13}}{4}$

${{S}_{ABCD}}=\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{2}a\sqrt{3}.a=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$

Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.SH.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}\frac{a\sqrt{13}}{4}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{39}}{24}$

Chọn B.