Với tham số m, đồ thị của hàm số \(y=\frac{{{x}^{...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị \(\Leftrightarrow f'\left( x \right)=0\) có hai nghiệm phân biệt.

+) Giả sử \(A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)\) và \(B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)\) thì: \(AB=\sqrt{{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}}.\)

Giải chi tiết:

ĐK: \(x\ne -1.\)

Ta có: \(y'=\frac{\left( 2x-m \right)\left( x+1 \right)-{{x}^{2}}+mx}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+2x-m}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}.\)

\(\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-m=0\ \ \left( * \right)\)

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị \(\Leftrightarrow \) (*) có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta '>0\Leftrightarrow 1+m>0\Leftrightarrow m>-1.\)

Gọi \(A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)\) và \(B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)\) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Khi đó \({{x}_{A}};\ \ {{x}_{B}}\) là hai nghiệm của phương trình (*).

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{A}}+{{x}_{B}}=-2 \\ & {{x}_{A}}{{x}_{B}}=-m \\ \end{align} \right..\)

Theo đề bài ta có:

\(AB=5\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}}=5\)

\(\begin{align} & \Leftrightarrow {{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}=25 \\ & \Leftrightarrow {{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{x_{B}^{2}-m{{x}_{B}}}{{{x}_{B}}+1}-\frac{x_{A}^{2}-m{{x}_{A}}}{{{x}_{A}}+1} \right)}^{2}}=25 \\ & \Leftrightarrow {{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\left( {{x}_{A}}{{x}_{B}}+{{x}_{A}}+{{x}_{B}}-m \right)\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{A}}{{x}_{B}}+1} \right)}^{2}}=25 \\ & \Leftrightarrow {{\left( {{x}_{B}}+{{x}_{A}} \right)}^{2}}-4{{x}_{A}}{{x}_{B}}+{{\left( \frac{{{x}_{A}}{{x}_{B}}+{{x}_{A}}+{{x}_{B}}-m}{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{A}}{{x}_{B}}+1} \right)}^{2}}\left( {{\left( {{x}_{B}}+{{x}_{A}} \right)}^{2}}-4{{x}_{A}}{{x}_{B}} \right)=25 \\ & \Leftrightarrow {{\left( -2 \right)}^{2}}-4\left( -m \right)+{{\left( \frac{-m-2-m}{-2-m+1} \right)}^{2}}\left( {{\left( -2 \right)}^{2}}-4\left( -m \right) \right)=25 \\ & \Leftrightarrow 4+4m+\frac{4{{\left( m+1 \right)}^{2}}}{{{\left( m+1 \right)}^{2}}}.4\left( 1+m \right)=25 \\ & \Leftrightarrow 4+4m+16\left( m+1 \right)=25 \\ & \Leftrightarrow 20m=5 \\ & \Leftrightarrow m=\frac{1}{4}\,\,\left( tm \right)\Leftrightarrow 0<m<1 \\ \end{align}\)

Chọn B.