Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt nh...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp để chứng minh tứ giác nội tiếp.

+) Từ tứ giác nội tiếp, chứng minh các cặp góc bằng nhau. Suy ra các cặp tam giác đồng dạng để chứng minh các cặp cạnh tỉ lệ.

+) Sử dụng định lý: góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung thì bằng nhau.

+) Sử dụng định lý: hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì có số đo bằng nhau.

Giải chi tiết:

1) Xét tứ giác AEHF có: \(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{AEH}+\widehat{AFH}={{180}^{0}}\)

Vậy tứ giác AEHF nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({{180}^{0}}\))

2) Xét tứ giác AEDB có \(\widehat{AEB}=\widehat{ADB}={{90}^{0}}\) nên tứ giác AEDB nội tiếp đường tròn đường kính AB

\(\Rightarrow \widehat{CAB}=\widehat{CDE}\) (cùng bù với \(\widehat{BDE}\))

Xét tam giác CAB và CDE có \(\widehat{ACB}\) chung, \(\widehat{CAB}=\widehat{CDE}\)

\(\Rightarrow \Delta CAB\sim \Delta CDE\left( g.g \right)\Leftarrow \frac{CA}{CD}=\frac{CB}{CE}\Rightarrow CE.CA=CD.CB\)

3) Xét tứ giác BFEC có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}={{90}^{0}}\) nên tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC

Suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF là đường tròn đương kính BC

Xét tam giác vuông AEH có EM là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(EM=\frac{1}{2}AH=MH\) ⇒ \(\Delta MEH\) cân tại M \(\Rightarrow \widehat{MEH}=\widehat{MHE}\) (2 góc ở đáy)

Xét tứ giác CEHD có \(\widehat{CEH}=\widehat{CDH}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{CEH}+\widehat{CDH}={{180}^{0}}\) ⇒ tứ giác CEHD là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow \widehat{ECD}=\widehat{BHD}\) (cùng bù với \(\widehat{EHD}\)). Mà \(\widehat{BHD}=\widehat{MHE}\)(đối đỉnh)

\(\Rightarrow \widehat{MEH}=\widehat{ECD}\)

Mà \(\widehat{ECD}\) là góc nội tiếp chắn cung BE, \(\widehat{MEH}\) là góc tạo bởi dây cung BE và đoạn ME nên ME là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF

4) I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDF nên I là giao điểm của trung trực của BD và BF

Trung trực của BD là đường trung bình của tam giác BDH ứng với cạnh DH

⇒ Trung trục của BD đi qua trung điểm của BH

Tương tự trung trực của BF đi qua trung điểm của BH

Suy ra giao điểm của trung trực của BD và BF là trung điểm của BH nên I là trung điểm của BH

Tương tự ta chứng minh được J là trung điểm của CH

⇒ IJ là đường trung bình của \(\Delta HBC\)

⇒ IJ // BC

⇒\(\widehat{DIJ}=\widehat{IDB}\) (so le trong)

Xét tam giác vuông BDH có DI là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(DI=\frac{1}{2}BH=BI\) \(\Rightarrow \Delta BDI\)cân tại I

\(\widehat{IBD}=\widehat{IDB}\) (2 góc ở đáy)

Mà \(\widehat{IBD}=\widehat{DFC}\)( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung DH)

\(\Rightarrow \widehat{DIJ}=\widehat{DFC}\) (đpcm).