Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{align}  &amp...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tách hằng đẳng thức và thế phương trình (1) vào phương trình (2).

+) Phương trình bậc hai có nghiệm \(\Leftrightarrow \Delta \ge 0.\) Giải bất phương trình tìm điều kiện của m.

+) Xác định giá trị lớn nhất của P và tìm m để dấu “=” xảy ra.

Giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{align}  & x+y=m \\  & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=-{{m}^{2}}+6 \\ \end{align} \right.\)

Ta có: \({{\left( x+y \right)}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy\Rightarrow {{m}^{2}}=-{{m}^{2}}+6+2xy\Leftrightarrow xy={{m}^{2}}-3\)

Suy ra \(x,y\) là nghiệm của phương trình \({{X}^{2}}-mX+{{m}^{2}}-3=0\)

Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta ={{m}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-3 \right)\ge 0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4{{m}^{2}}+12\ge 0\Leftrightarrow {{m}^{2}}\le 3\Leftrightarrow -\sqrt{3}\le m\le \sqrt{3}\)

Khi đó ta có: \(P=xy+2(x+y)={{m}^{2}}-3+2m\ge {{\left( m+1 \right)}^{2}}-4\ge -4\)

Dấu “=” xảy ra khi \(m=-1\)

Vậy \({{P}_{\min }}=-4\Leftrightarrow m=-1\)

Chọn C