1) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{align}&am...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.

2) Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi sau đó rút gọn biểu thức.

+) Sử dụng kết quả đã rút gọn, giải bất phương trình \(B<0.\)

+) Kết hợp với điều kiện của đề bài và kết luận nghiệm.

3) a) Thay giá trị cho trước của m để giải phương trình bậc hai ẩn x.

b)  Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt: \(\left\{ \begin{align}  & \Delta >0 \\  & -\frac{b}{a}>0 \\  & \frac{c}{a}>0 \\ \end{align} \right..\)

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} \\  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\ \end{align} \right.\)  và biến đổi biểu thức P để tìm GTNN của biểu thức P.

Giải chi tiết:

1) 

\(\left\{ \begin{array}{l}
3x + y = 10\\
2x - 3y = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
9x + 3y = 30\\
2x - 3y = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
11x = 33\\
y = 10 - 3x
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 3\\
y = 1
\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (3; 1)

2. Điều kiện: \(x\ge 0;\ x\ne 1;\ x\ne \frac{1}{4}.\) 

\(\begin{array}{l}
B = \left( {\frac{{x\sqrt x + x + \sqrt x }}{{x\sqrt x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{1 - \sqrt x }}} \right).\frac{{x - 1}}{{2x + \sqrt x - 1}}\\
\;\;\; = \left( {\frac{{\sqrt x \left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 1}}} \right).\frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{2x + 2\sqrt x - \sqrt x - 1}}\\
\,\,\,\,\, = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 1}}} \right).\frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{2\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) - \left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\
\;\;\; = \frac{{2\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 1}}.\frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {2\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{2\sqrt x + 3}}{{2\sqrt x - 1}}.\\
\Rightarrow B < 0 \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt x + 3}}{{2\sqrt x - 1}} < 0.
\end{array}\)

Vì \(2\sqrt{x}+3>0\) nên \(2\sqrt{x}-1<0\Leftrightarrow 2\sqrt{x}<1\Leftrightarrow \sqrt{x}<\frac{1}{2}\Leftrightarrow 0\le x<\frac{1}{4}\)

Vậy khi \(0\le x<\frac{1}{4}\) thì \(B<0\).

3. \({{x}^{2}}-\left( 2m+5 \right)x+2m+1=0\,\,\,\left( 1 \right)\)

a) Khi \(m=-\frac{1}{2}\) thì phương trình (1) trở thành \({{x}^{2}}-4x=0\Leftrightarrow x\left( x-4 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=4 \\ \end{align} \right.\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 0, x = 4.

b) Để phương trình (1) có 2 nghiệm dương phân biệt thì

\(\left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
S > 0\\
P > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {2m + 5} \right)^2} - 4\left( {2m + 1} \right) > 0\\
2m + 5 > 0\\
2m + 1 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4{m^2} + 12m + 21 > 0\\
m > - \frac{5}{2}\\
m > - \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4\left( {{{\left( {m + \frac{3}{2}} \right)}^2} + 3} \right) > 0\\
m > - \frac{5}{2}\\
m > - \frac{1}{2}
\end{array} \right.\)

Suy ra \(m>-\frac{1}{2}\)

Khi đó \(P=\left| \sqrt{{{x}_{1}}}-\sqrt{{{x}_{2}}} \right|\Rightarrow {{P}^{2}}={{\left( \left| \sqrt{{{x}_{1}}}-\sqrt{{{x}_{2}}} \right| \right)}^{2}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}-2\sqrt{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}\)

Theo Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m+5 \\  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m+1 \\ \end{align} \right.\)

Suy ra \({{P}^{2}}=2m+5-2\sqrt{2m+1}\)

Đặt \(t=\sqrt{2m+1}\ge 0\Rightarrow 2m+5=2m+1+4={{t}^{2}}+4\)

\(\Rightarrow {{P}^{2}}={{t}^{2}}+4-2t={{\left( t-1 \right)}^{2}}+3\ge 3\)

Dấu “=” xảy ra khi \(t=1\Leftrightarrow \sqrt{2m+1}=1\Leftrightarrow 2m+1=1\Leftrightarrow m=0\)

Vậy \(P_{\min }^{2}=3\Rightarrow {{P}_{\min }}=\sqrt{3}\)(vì P > 0)

 Chọn A