Phương trình \(5{\cos ^2}x + 8\left( {m + 1} \righ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) TH1: Xét \(\cos x = 0\).

+) TH2: \(\cos x \ne 0\). Chia cả 2 vế cho \({\cos ^2}x\).

Giải chi tiết:

TH1:Khi \(\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1\), ta có \(0 + 0 = 4m + 1 \Leftrightarrow m =  - \frac{1}{4}\).

\( \Rightarrow m =  - \frac{1}{4}\) phương trình có nghiệm \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) .

TH2 :\(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  - \frac{1}{4}\). Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,5 + 8\left( {m + 1} \right)\tan x = 4m\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) + {\tan ^2}x\\ \Leftrightarrow \left( {4m + 1} \right){\tan ^2}x - 8\left( {m + 1} \right)\tan x + 4m - 5 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Phương trình (*) có nghiệm \( \Rightarrow \Delta ' \ge 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 16{\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {4m + 1} \right)\left( {4m - 5} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 16{m^2} + 32m + 16 - 16{m^2} + 16m + 5 \ge 0\\ \Leftrightarrow 48m + 21 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge \frac{{ - 21}}{{48}}\end{array}\)

Kết hợp 2 trường hợp ta có \(m \ge  - \frac{{21}}{{48}}\).

Chọn A.