Cho \(x,\,y\)  là 2 số tự nhiên thỏa mãn: \(3{y^2}...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Ta có :  \(3{y^2} + 1 = 4{x^2} \Leftrightarrow 3{y^2} = (2x - 1)(2x + 1)\)

Dễ có UCLN của \(2x - 1\)  và \(2x + 1\)  là 1 vì đây đều là 2 số lẻ.

\( \Rightarrow 2x - 1\)  và  \(2x + 1\)  là các số nguyên tố cùng nhau.

Do vậy :

\(\begin{array}{l}TH1:\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 = {m^2}\\2x + 1 = 3{n^2}\\mn = y\end{array} \right. \Rightarrow m = (2k + 1) \Rightarrow 2x = 4{k^2} + 4k + 2 \Rightarrow x = {(k)^2} + {(k + 1)^2}.\\TH2:\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 = 3{n^2}\\2x + 1 = {m^2}\\mn = y\end{array} \right. \Rightarrow {m^2} = 2x - 1 + 2 = 3{n^2} + 2.\end{array}\)

Số này chia 3 dư 2 mà 1 số chính phương không thể chia 3 dư 2 nên vô lý.

Vậy với \(x,\,\,y \in \mathbb{N}\) thỏa mãn \(3{y^2} + 1 = 4{x^2}\) thì \(x\) là tổng của hai số tự nhiên liên tiếp.