Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trò...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh tứ giác AB’HC’ có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

b) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.

c) Dựa vào tỉ số diện tích tam giác.

Giải chi tiết:

a) Chứng minh tứ giác AB’HC’ nội tiếp đường tròn.

Xét tứ giác AB’HC’ có \(\angle AB'H + \angle AC'H = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác AB’HC’ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

b) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng HD và BC. Chứng minh I là trung điểm của đoạn BC.

Ta có \(\angle ABD = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow AB \bot BD\).

Mà \(CH \bot AB\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow BD\parallel CH\)

Chứng minh tương tự ta có \(CD\parallel BH\).

\( \Rightarrow \) Tứ giác BHCD là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có các cặp cạnh đối song song)

Mà \(BC \cap HD = I\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow I\) là trung điểm của BC.

c) Tính \(\frac{{AH}}{{AA'}} + \frac{{BH}}{{BB'}} + \frac{{CH}}{{CC'}}\).

Ta có:

\(\frac{{{S_{HBC}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}HA'.BC}}{{\frac{1}{2}AA'.BC}} = \frac{{HA'}}{{AA'}} \Rightarrow 1 - \frac{{{S_{HBC}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1 - \frac{{HA'}}{{AA'}} = \frac{{AA' - HA'}}{{AA'}} = \frac{{AH}}{{AA'}}\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\frac{{BH}}{{BB'}} = 1 - \frac{{{S_{HAC}}}}{{{S_{ABC}}}};\,\,\frac{{CH}}{{CC'}} = 1 - \frac{{{S_{HAB}}}}{{{S_{ABC}}}}\)

\( \Rightarrow \frac{{AH}}{{AA'}} + \frac{{BH}}{{BB'}} + \frac{{CH}}{{CC'}} = 1 - \frac{{{S_{HBC}}}}{{{S_{ABC}}}} + 1 - \frac{{{S_{HAC}}}}{{{S_{ABC}}}} + 1 - \frac{{{S_{HAB}}}}{{{S_{ABC}}}} = 3 - \frac{{{S_{HBC}} + {S_{HAC}} + {S_{HAB}}}}{{{S_{ABC}}}} = 3 - 1 = 2\).