Cho đường tròn (O) đường kính BC và H là 1...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a)      Chứng minh rằng tứ giác MNBA nội tiếp.

Ta có: \(\widehat {BAC} = {90^0} \Rightarrow \widehat {BAM} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\begin{array}{l}\widehat {MNB} = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \widehat {BAM} + \widehat {MNB} = {180^0}\end{array}\)

Do đó tứ giác MNBA nội tiếp đường tròn đường kính MB (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

b)     Tính giá trị: \(P = 2{\left( {\dfrac{{BO}}{{AB}}} \right)^2} - \dfrac{{OH}}{{BH}}\)

Do tam giác ABC vuông tại A nên áp dụng hệ thức lượng ta có:

\(\begin{array}{l}BH = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{{A{B^2}}}{{2BO}}\\ \Rightarrow \dfrac{{OH}}{{BH}} = \dfrac{{2BO.OH}}{{A{B^2}}} = \dfrac{{2BO\left( {BO - BH} \right)}}{{A{B^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2B{O^2} - BH.BC}}{{A{B^2}}} = \dfrac{{2B{O^2} - A{B^2}}}{{A{B^2}}} = 2{\left( {\dfrac{{BO}}{{AB}}} \right)^2} - 1\\ \Rightarrow P = 2{\left( {\dfrac{{BO}}{{AB}}} \right)^2} - \dfrac{{OH}}{{BH}} = 1\end{array}\)

Vậy giá trị của P là: P = 1.

c)      Từ B vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O), cắt hai đường thẳng AC và AN lần lượt tại K và E. Chứng minh rằng đường thẳng EC luôn đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AH khi điểm H khi động trên đoạn thẳng BO.

Ta dễ dàng có:

Do tứ giác DBAC nội tiếp:

\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {MBN} = \widehat {DBC}\\\widehat {DBC} = \widehat {DAC}\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {MBN} = \widehat {DAC} \Rightarrow {90^0} - \widehat {MBN} = {90^0} - \widehat {DAC} \Rightarrow \widehat {NMB} = \widehat {BCA}\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Tứ giác MNBA nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \widehat {NMB} = \widehat {NAB}\,\,\,\left( 2 \right)\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NB).

Tam giác OAC cân tại O \(\left( {OA = OC} \right) \Rightarrow \widehat {BCA} = \widehat {OAC}\,\,\,\left( 3 \right)\)  (hai góc ở đáy)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

\(\begin{array}{l}\widehat {NAB} = \widehat {OAC} \Rightarrow \widehat {OAC} + \widehat {BAO} = \widehat {NAB} + \widehat {BAO}\\ \Leftrightarrow \widehat {BAC} = \widehat {NAO} \Rightarrow \widehat {NAO} = {90^0} \Rightarrow OA \bot NA\end{array}\)

\( \Rightarrow \)  NA là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}EA = EB\\\widehat {EAB} = \widehat {EBA}\end{array} \right.\)

Trong tam giác vuông KAB ta chứng minh được AE là đường trung tuyến

\( \Rightarrow EA = EB = EK \Rightarrow \Delta EAK\) cân tại E \( \Rightarrow \widehat {BKA} = \widehat {EAK}.\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\BK \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH//BK\). Do vậy theo định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{CI}}{{CE}} = \frac{{AI}}{{KE}}\)

\(HI//EB \Rightarrow \frac{{CI}}{{CE}} = \frac{{HI}}{{BE}} \Rightarrow \frac{{AI}}{{KE}} = \frac{{HI}}{{BE}}\)

Mà \(KE = EB \Rightarrow AI = HI\)

Từ đó suy ra I là trung điểm của AH.

Vậy ta có điều phải chứng minh.