Cho biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{x + 4\s...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1. Phân tích mẫu thành nhân tử sau đó quy đồng các mẫu thức rồi rút gọn.

2. Cho \(A \ge \frac{1}{{3\sqrt x }}\) sau đó tìm x và đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Giải chi tiết:

Cho biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{x + 4\sqrt x  + 4}}:\left( {\frac{x}{{x + 2\sqrt x }} + \frac{x}{{\sqrt x  + 2}}} \right),\) với \(x > 0\)

1) Rút gọn biểu thức A.

\(\begin{array}{l}A = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{x + 4\sqrt x  + 4}}:\left( {\frac{x}{{x + 2\sqrt x }} + \frac{x}{{\sqrt x  + 2}}} \right)\\ = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)}^2}}}:\left( {\frac{x}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}} + \frac{x}{{\sqrt x  + 2}}} \right)\\ = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)}^2}}}:\left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{x}{{\sqrt x  + 2}}} \right)\\ = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)}^2}}}.\frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\\ = \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\end{array}\)

Vậy với \(x > 0\) thì \(A = \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

2) Tìm tất cả các giá trị của x để \(A \ge \frac{1}{{3\sqrt x }}\)

\(\begin{array}{l}A \ge \frac{1}{{3\sqrt x }} \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}} \ge \frac{1}{{3\sqrt x }}\\ \Leftrightarrow \frac{{3 - \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}} \ge 0\\ \Leftrightarrow \frac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}} \ge 0\end{array}\)

Với \(x > 0\) ta có: \(\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right) > 0\) khi đó \(\frac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}} \ge 0 \Leftrightarrow 1 - \sqrt x  \ge 0 \Leftrightarrow x \le 1\)

Kết hợp với điều kiện ta được: \(0 < x \le 1\)  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.