Từ điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \rig...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng các cặp tam giác đồng dạng để tính tỉ số giữa các cạnh \(DH,HK\) theo với các cạnh khác, từ đó rút ra \(DH = HK\).

Giải chi tiết:

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có:

 \(\angle SBE\)  là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung BE

 \(\angle BCE\)là góc nội tiếp cùng chắn cung \(BE\)

\( \Rightarrow \angle SBE = \angle BCE\)  (định lý)

Mà có: \(\angle SBE = \angle BKH\) (hai góc so le trong, \(KD//AB\))

\( \Rightarrow \angle BKH = \angle BCE\;\;\left( { = \angle SBE} \right)\)

Xét \(\Delta BKH\)và \(\Delta BCE\) có:

\(\begin{array}{l}\angle BKH = \angle BCE\;\;\left( {cmt} \right)\\\angle EBC\;\;chung\\ \Rightarrow \Delta BKH \sim \Delta BCE \Rightarrow \frac{{KH}}{{CE}} = \frac{{BH}}{{BE}} \Rightarrow KH = BH.\frac{{CE}}{{BE}}\;\;\;\;\left( 1 \right)\end{array}\)

Chứng minh tương tự ta có:  \(\Delta BHD \sim \Delta BDC\;\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{BH}}{{BD}} = \frac{{HD}}{{CD}} \Rightarrow HD = BH.\frac{{CD}}{{BD}}\;\;\;\left( 2 \right)\)

Xét \(\Delta BAD\) và  \(\Delta EAB\) có:

 \(\angle BAE\;\;chung\;\;\)

 \(\angle DBA = \angle BEA\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(BD\))

\( \Rightarrow \Delta BAD \sim \Delta EAB\;\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{BE}}{{BD}} = \frac{{AB}}{{AD}}\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Chứng minh tương tự ta có:  \(\Delta ACE \sim \;\Delta ADC\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{CE}}{{CD}} = \frac{{AC}}{{AD}}\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Mà có  \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AD}}\) (do\(AB,AC\)cùng là tiếp tuyến đi qua \(A\) của đường tròn \(\left( O \right)\)nên \(AB = AC\))

\( \Rightarrow \frac{{BE}}{{BD}} = \frac{{CE}}{{CD}} \Rightarrow \frac{{CE}}{{BE}} = \frac{{CD}}{{BD}}\)                                                           (3)

Từ  (1) , (2) , (3) ta có:  \(\frac{{KH}}{{HD}} = \frac{{BH}}{{BH}}.\frac{{CE}}{{BE}}.\frac{{BD}}{{CD}} = 1 \Rightarrow HK = HD\) (đpcm)\(\)