Từ điểm K nằm ngoài đường tròn vẽ cát tuyến KBC vớ...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh chúng cùng thuộc đường tròn đường kính OA.

b) Sử dụng tam giác đồng dạng suy ra góc bằng nhau.

Giải chi tiết:

Từ điểm K nằm ngoài đường tròn vẽ cát tuyến KBC với đường tròn (không qua O) và B nằm giữa K và C. Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại A. Qua A vẽ đường vuông góc với KO cắt KO tại H, cắt (O) tại E và F biết E nằm giữa A và F. Gọi M là giao điểm AO và BC. Chứng minh rằng:

 a) Các điểm A, C, H, O, B cùng nằm trên một đường tròn.

Do AC, AB là các tiếp tuyến của (O) tại B và C nên: \(\angle ACO = \angle ABO = {90^0}.\)

Lại có AH vuông góc KO nên: \(\angle AHO = {90^0}.\)

Vậy các điểm H, C, B cùng nhìn OA dưới 1 góc vuông.

Do đó: A, C, H, O, B cùng thuộc đường tròn đường kính OA. (đpcm)

b) Tứ giác EMOF nội tiếp.

Do AC là tiếp tuyến nên áp dụng tính chất góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung ta có: \(\angle ACE = \angle AFC\)

Từ đó: \(\Delta AEC \sim \Delta ACF\;(g - g) \Rightarrow \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{AF}} \Rightarrow A{C^2} = AE.AF.\)

Ta có \(AB,\;\;AC\) là các tiếp tuyến cắt nhau tại \(A \Rightarrow OA \bot BC\;\;hay\;\;CM \bot OA.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác \(OAC\) vuông tại \(C\) có đường cao \(CM\) ta có:

\(\begin{array}{l}A{C^2} = AM.AO\\ \Rightarrow AM.AO = AE.AF \to \frac{{AM}}{{AF}} = \frac{{AE}}{{AO}}\\ \Rightarrow \Delta AEM \sim \Delta AOF\;\;\left( {c - g - c} \right) \Rightarrow \angle AEM = \angle AOF\\ \Rightarrow \angle AOF + \angle MEF = {180^0}.\end{array}\)

Do vậy tứ giác EMOF nội tiếp (đpcm).