Giải phương trình: \(\sqrt {{x^3} + 1}  = {x^2} -...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt điều kiện sau đó giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ thông qua sử dụng hẳng đẳng thức vế trái.

Giải chi tiết:

Điều kiện : \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 1 \ge 0\\{x^2} - 3x - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 1\\\left[ \begin{array}{l}x \ge \frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}\\x \le \frac{{3 - \sqrt {13} }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge \frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}\\ - 1 \le x \le \frac{{3 - \sqrt {13} }}{2}\end{array} \right..\)

\(\sqrt {{x^3} + 1}  = {x^2} - 3x - 1 \Leftrightarrow \sqrt {(x + 1)({x^2} - x + 1)}  = {x^2} - x + 1 - 2\left( {x + 1} \right).\)

Đặt \(a = \sqrt {x + 1} ;\,\,\,b = \sqrt {{x^2} - x + 1} \,\,\,\left( {a \ge 0,\,\,b > 0} \right).\) 

Khi đó ta có phương trình :

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {b^2} - 2{a^2} = ab \Leftrightarrow 2{a^2} + ab - {b^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {2a - b} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + b = 0\,\,\,\left( {ktm\,\,do\,\,a \ge 0,\,\,b > 0} \right)\\2a - b = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow 2a = b \Leftrightarrow 2\sqrt {x + 1}  = \sqrt {{x^2} - x + 1} \\ \Leftrightarrow 4x + 4 = {x^2} - x + 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - 5x - 3 = 0\end{array}\)

Có \(\Delta  = {5^2} + 3.4 = 37 > 0 \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5 + \sqrt {37} }}{2}\,\,\left( {tm} \right)\\x = \frac{{5 - \sqrt {37} }}{2}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm : \(x = \frac{{5 + \sqrt {37} }}{2}\) hoặc \(x = \frac{{5 - \sqrt {37} }}{2}\).

Chọn A.