Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng tính chất giữa đường kính và dây cung.

+) Tam giác cân có hai góc kề đáy bằng nhau.

+) Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Giải chi tiết:

Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Vẽ dây cung MC không đi qua tâm O cắt đoạn thẳng AB tại D (D khác A, D khác B). Đường thẳng vuông góc với AB tại D, cắt OC tại K.Chứng minh rằng tam giác KCD là tam giác đều.

Ta có \(M\) là điểm chính giữa cung \(AB\Rightarrow \overset\frown{MA}=\overset\frown{MB}\Rightarrow MA=MB\) (trong một đường tròn thì hai cung căng hai dây bằng nhau); Lại có OA = OB (bán kính của (O))

Nên ta có OM là đường trung trực của \(AB\ \ hay\ \ AB\bot OM.\)

Lại có \(KD\bot AB\ \ \left( gt \right)\)

\(\Rightarrow KD//OM\) (từ vuông góc đến song song).

\(\Rightarrow \widehat{CMO}=\widehat{CDK}\) (hai góc đồng vị).

Ta có \(OC=OM=R\Rightarrow \Delta MOC\) cân tại O \(\Rightarrow \widehat{OMC}=\widehat{OCM}.\) (hai góc kề đáy).

\(\Rightarrow \widehat{MCO}=\widehat{CDK}\left( =\widehat{CMO} \right)\Rightarrow \Delta KCD\) cân tại \(K.\)  (đpcm).