Tìm \(m\)  để bất phương trình nghiệm đún...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét trường hợp hệ số \(a = 0\) và \(a \ne 0\)

Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac.\)

-  Nếu \(\Delta  < 0\) thì với mọi \(x,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.

- Nếu \(\Delta  = 0\) thì \(f\left( x \right)\) có nghiệm kép \(x =  - \frac{b}{{2a}}\), với mọi \(x \ne  - \frac{b}{{2a}},\,\,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.

- Nếu \(\Delta  > 0\),\(f\left( x \right)\)có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) và luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\) ngoài đoạn \(\left[ {{x_1},{x_2}} \right]\) và luôn trái dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\) trong đoạn \(\left[ {{x_1};{x_2}} \right]\)

Giải chi tiết:

+) Với \(m + 2 = 0 \Leftrightarrow m =  - 2\) ta có bất phương trình \( \Leftrightarrow 4x + 1 > 0 \Leftrightarrow x >  - \frac{1}{4}\;\;\left( {ktm} \right)\)     

+) Với \(m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  - 2\) ta có bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{r}a > 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right..\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 2 > 0\\{m^2} - m - 2 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{r}m >  - 2\\\left( {m + 1} \right)\left( {m - 2} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - 2\\ - 1 < m < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 1 < m < 2\)

Vậy với \(m \in \left( { - 1;2} \right)\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn C.