1. Cho phương trình ẩn \(x:\ \ {{x}^{2}}-2\left( m...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1. a) Thay giá trị của \(m=2\) vào phương trình đã cho và giải phương trình bậc hai một ẩn.

b)  Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta '>0.\)

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\ \end{align} \right.\) và áp dụng hệ thức bài cho để tìm giá trị của \(m\)

2. Giải bài toán bằng cách lập phương trình để tìm vận tốc của mỗi xe.

+) Sau đó so sánh vận tốc mỗi xe với vận tốc tối đa mà xe được chạy là 50km/h để rút ra kết luận đúng.

Giải chi tiết:

1. Cho phương trình ẩn \(x:\ \ {{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}+1=0\ \ \ \left( * \right)\)  (m là tham số)

a) Giải phương trình \(\left( * \right)\) với \(m=2.\)

Với \(m=2\) ta có phương trình \({{x}^{2}}-6x+5=0\)

Ta thấy phương trình có \(a+b+c=1-6+5=0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x=1\) và \(x=5.\)

Vậy với \(m=2\) thì phương trình có tập nghiệm \(S=\left\{ 1;\ \ 5 \right\}.\)  

b) Xác định các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},\ \ {{x}_{2}}\) thỏa mãn điều kiện \({{x}_{1}}-2{{x}_{2}}=-1.\)

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta '>0\)

                                                                         \(\begin{align}  & \Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}-{{m}^{2}}-1>0 \\  & \Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m+1-{{m}^{2}}-1>0 \\  & \Leftrightarrow 2m>0 \\  & \Leftrightarrow m>0. \\ \end{align}\)  

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\left( m+1 \right)\ \ \ \left( 1 \right) \\  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}+1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( 2 \right) \\ \end{align} \right..\)

Theo đề bài ta có: \({{x}_{1}}-2{{x}_{2}}=-1\ \ \ \ \left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) ta có hệ phương trình: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m + 2\\
{x_1} - 2{x_2} = - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = 2{x_1} - 1\\
{x_2} = \frac{{2m + 3}}{3}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = \frac{{4m + 3}}{3}\\
{x_2} = \frac{{2m + 3}}{3}
\end{array} \right..\)

Thế vào \(\left( 2 \right)\) ta được: \(\frac{4m+3}{3}.\frac{2m+3}{3}={{m}^{2}}+1\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 8{m^2} + 12m + 6m + 9 = 9{m^2} + 9\\
\Leftrightarrow {m^2} - 18m = 0\\
\Leftrightarrow m\left( {m - 18} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0\\
m - 18 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0\;\;\;\left( {ktm} \right)\\
m = 18\;\;\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right..
\end{array}\)

Vậy \(m=18\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

2. Bài toán có nội dung thực tế:

Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 144km. Một ô tô khởi hành từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc không đổi trên cả quãng đường. Sauk hi ô tô đi được 20 phút, ô tô thứ hai cũng đi từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc lớn hơn vận tốc của ô tô thứ nhất là 6km/h (vận tốc không đổi trên cả quãng đường). Biết rằng cả hai ô tô đến thành phố B cùng một lúc.

a) Tính vận tốc của hai xe ô tô.

Gọi vận tốc của ô tô thứ nhất là \(x\ \ \left( km/h \right),\ \ \left( x>0 \right).\)

Thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đường AB là: \(\frac{144}{x}\ \ \left( h \right).\)

Vận tốc của ô tô thứ hai lớn hơn vận tốc của ô tô thứ nhất \(6km/h\) nên vận tốc của ô tô thứ hai là: \(x+6\ \ \left( km/h \right).\)

Thời gian ô tô thứ hai đi hết quãng đường AB là: \(\frac{144}{x+6}\ \ \left( h \right).\)

Ô tô thứ hai xuất phát sớm hơn ô tô thứ nhất \(20\) phút \(=\frac{1}{3}\left( h \right)\) mà hai xe đến B cùng lúc nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}
\;\;\;\;\frac{{144}}{x} - \frac{{144}}{{x + 6}} = \frac{1}{3}\\
\Leftrightarrow 3.144\left( {x + 6} \right) - 3.144x = x\left( {x + 6} \right)\\
\Leftrightarrow {x^2} + 6x - 2592 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 48} \right)\left( {x + 54} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 48 = 0\\
x + 54 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 48\;\;\left( {tm} \right)\\
x = - 54\;\;\left( {ktm} \right)
\end{array} \right..
\end{array}\)

Vậy vận tốc của ô tô thứ nhất là \(48km/h,\) vận tốc của ô tô thứ hai là: \(48+6=54km/h.\)

b) Nếu trên đường có biến báo cho phép xe chạy với vận tốc tối đa là 50km/h thì hai xe ô tô trên, xe nào vi phạm giới hạn về tốc độ?

Vì biển báo cho phép xe chạy với vận tốc tối đa là \(50km/h\) nên xe thứ hai đã vi phạm giới hạn tốc độ vì \(54km/h>50km/h.\)   

Chọn C