Cho tam giác ABC có \(M\left( {2;\frac{1}{2}} \rig...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

* Xử lý phân giác :

\( \Rightarrow {M_1}\left( {\frac{3}{2};0} \right)\)

Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}BD\\BN\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {1;1} \right)\).

Phương trình \(\left( {BM} \right):\,\,x + 2y - 3 = 0\)

Phương trình \(\left( {BC} \right):\,\,2x + y - 3 = 0\)

Giả sử \(A\left( {a;b} \right) \in AB \Rightarrow a + 2b - 3 = 0 \Rightarrow a = 3 - 2b \Rightarrow A\left( {3 - 2b;b} \right)\).

           \(C\left( {c;d} \right) \in BC \Rightarrow 2c + d - 3 = 0 \Leftrightarrow d = 3 - 2c \Rightarrow C\left( {c;3 - 2c} \right)\)

N là trung điểm của AC \( \Rightarrow N\left( {\frac{{3 - 2b + c}}{2};\frac{{3 + b - 2c}}{2}} \right)\)

\(N \in BC \Rightarrow \frac{{4\left( {3 - 2b + c} \right)}}{2} + \frac{{5\left( {3 + b - 2c} \right)}}{2} - 9 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {1;2} \right)\\\overrightarrow {{n_{BC}}}  = \left( {2;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \cos \widehat B = \left| {\frac{{2 + 2}}{{\sqrt 5 .\sqrt 5 }}} \right| = \frac{4}{5}\\ \Rightarrow \sin \widehat B = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\widehat B}  = \frac{3}{5}\end{array}\)

Áp dụng định lí sin ta có : \(\frac{{AC}}{{\sin B}} = 2R \Rightarrow AC = 2R.\sin B = 3\)

\( \Rightarrow {\left( {c + 2b - 3} \right)^2} + {\left( {3 - 2c - b} \right)^2} = 9\,\,\,\,\left( 2 \right)\) 

Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( 1 \right)\\\left( 2 \right)\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {5; - 1} \right);\,\,C\left( {2; - 1} \right).\)