Cho đường tròn đường kính AB, các điểm C, D nằm tr...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Sử dụng tính chất: Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

b) Chứng minh hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau.

c) Chứng minh MD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Giải chi tiết:

a) Chứng minh \(\widehat {ACN} = \widehat {DMN}\). Từ đó suy ra tứ giác MCKH nội tiếp.

Ta có:

Góc ACN là góc nội tiếp chắn cung AN; góc DMN là góc nội tiếp chắn cung DN.

Mà cung AN = cung DN (gt)

\( \Rightarrow \widehat {ACN} = \widehat {DMN}\) (Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau).

b) Chứng minh KH song song với AD.

Do đó tứ giác CMHK là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung bằng nhau).

\( \Rightarrow \widehat {CHK} = \widehat {CMK} = \widehat {CMD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CK).

Mà \(\widehat {CMD} = \widehat {CAD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD của đường tròn (O))

\( \Rightarrow \widehat {CHK} = \widehat {CAD}\).

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị \( \Rightarrow HK//AD\).

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa \(sd\overset\frown{AC}\) và \(sd\overset\frown{AD}\) để AK song song với ND.

Chứng minh tương tự ta có \(AI//KH\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác AHKI là hình bình hành (Tứ giác có các cạnh đối song song)

Ta có AK // DN \( \Rightarrow \widehat {IAK} = \widehat {ADN}\) (so le trong)

Lại có \(\widehat {ADN} = \widehat {DMN} = \widehat {AMN} \Rightarrow \widehat {IAK} = \widehat {DMN} = \widehat {KMI} \Rightarrow \) tứ giac AIKM là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung bằng nhau).

\( \Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {AKI}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AI)

 \( \Rightarrow \widehat {IAK} = \widehat {AKI} \Rightarrow \Delta IAK\) cân tại I \( \Rightarrow IA = IK\)

\( \Rightarrow AHKI\) là hình thoi (Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau).

\( \Rightarrow IH \bot AK\) (hai đường chéo của hình thoi).

\( \Rightarrow MN \bot AK\), mà \(AK//DN \Rightarrow AM \bot ND \Rightarrow \widehat {MND} = {90^0} \Rightarrow \) Góc MND nội tiếp chắn nửa đường tròn.

\( \Rightarrow MD\) là đường kính của đường tròn tâm O.

\( \Rightarrow \) sđ cung MAD = 180⁰

\( \Rightarrow \) sđ cung MA + sđ cung AD = 180⁰

\( \Rightarrow \) sđ cung \(\frac{{AC}}{2}\) + sđ cung AD = 180⁰