Gọi A, B là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau trê...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số, lưu ý điều kiện nằm ở hai nhánh khác nhau.

+) Tính AB, sử dụng BĐT Cauchy để tìm GTNN của AB.

Giải chi tiết:

Ta có \(y = \frac{{x + 3}}{{x - 3}} = 1 + \frac{6}{{x - 3}}\,\,\left( {x \ne 3} \right)\).

Đồ thị hàm số có TCĐ \(x = 3\), gồm hai nhánh nằm về hai phía của đường thẳng \(x = 3\).

Gọi A là điểm thuộc nhánh trái của đồ thị hàm số, nghĩa là \({x_A} < 3\). Đặt \(a = 3 - {x_A} > 0 \Rightarrow {x_A} = 3 - a\)

\( \Rightarrow {y_A} = 1 + \frac{6}{{{x_A} - 3}} = 1 + \frac{6}{{3 - a - 3}} = 1 - \frac{6}{a} \Rightarrow A\left( {3 - a;1 - \frac{6}{a}} \right)\)

Gọi B là điểm thuộc nhánh phải của đồ thị hàm số, nghĩa là \({x_B} > 3\). Đặt \(b = {x_B} - 3 > 0 \Rightarrow {x_B} = 3 + b\)

\( \Rightarrow {y_B} = 1 + \frac{6}{{{x_B} - 3}} = 1 + \frac{6}{{3 + b - 3}} = 1 + \frac{6}{b} \Rightarrow B\left( {3 + b;1 + \frac{6}{b}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A{B^2} = {\left( {b + a} \right)^2} + {6^2}{\left( {\frac{1}{b} + \frac{1}{a}} \right)^2} = {\left( {b + a} \right)^2} + {6^2}{\left( {b + a} \right)^2}.{\left( {\frac{1}{{ab}}} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {a + b} \right)^2}\left( {1 + \frac{{36}}{{{a^2}{b^2}}}} \right) = \left( {{a^2} + {b^2} + 2ab} \right)\left( {1 + \frac{{36}}{{{a^2}{b^2}}}} \right)\end{array}\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có \(A{B^2} \ge \left( {2ab + 2ab} \right).2\sqrt {\frac{{36}}{{{a^2}{b^2}}}}  = 4ab.\frac{{12}}{{ab}} = 48 \Rightarrow AB \ge \sqrt {48}  = 4\sqrt 3 \)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\1 = \frac{6}{{ab}}\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\).

Vậy \(A{B_{\min }} = 4\sqrt 3 \).

Chọn A.