Chóp \(S.ABCD\), \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\) c...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

+ Gọi \(O = AC \cap BC \Rightarrow \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\end{array} \right. \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

+ Ta có: \(GO \cap \left( {SCD} \right) = D \Rightarrow \dfrac{{d\left( {G;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right)}} = \dfrac{{GD}}{{OD}}\).

\(\left\{ \begin{array}{l}BG = \dfrac{2}{3}BO = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}BD = \dfrac{1}{3}BD \Rightarrow GD = \dfrac{2}{3}BD\\OD = \dfrac{1}{2}BD\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{GD}}{{OD}} = \dfrac{4}{3}\).

\( \Rightarrow d\left( {G;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{3}{4}d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right)\).

+ Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(CD,\,\,CM\).

+ Tam giác \(ACD\) có: \(\widehat {CAD} = \widehat {ADC} = {60^0} \Rightarrow \Delta ACD\) đều cạnh \(a\) \( \Rightarrow AM \bot CD\).

   \(ON\) là đường trung bình của \(\Delta AMC \Rightarrow ON\parallel AM \Rightarrow ON \bot CD\).

+ Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot ON\\CD \bot SO\,\,\left( {SO \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SON} \right)\).

+ Trong \(\left( {SON} \right)\) kẻ \(OH \bot SN\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot SN\\OH \bot CD\,\,\left( {CD \bot \left( {SON} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right) = OH\).

\( \Rightarrow d\left( {G;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{4}{3}OH\).

+ Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a \Rightarrow AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow ON = \dfrac{1}{2}AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\) và \(AC = a \Rightarrow AO = \dfrac{a}{2}\).

+ Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SOA\) có:  \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}}  = \sqrt {\dfrac{{5{a^2}}}{4} - \dfrac{{{a^2}}}{4}}  = a\).

+ Áp dụng HTL trong tam giác vuông \(SON\) có:

\(OH = \dfrac{{SO.ON}}{{\sqrt {S{O^2} + O{N^2}} }} = \dfrac{{a.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{{16}}} }} = \dfrac{{a\sqrt {57} }}{{19}}\).

Vậy \(d\left( {G;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{4}{3}.\dfrac{{a\sqrt {57} }}{{19}} = \dfrac{{4a}}{{\sqrt {57} }}\).

Chọn C.