Cho lăng trụ đều \(ABCD.A’B’C’D’\) có \(AA’ = a\sq...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi \(O = AC \cap BD\), do đó \(O\) là trung điểm của \(AC\).

Xét \(\Delta ADD'\) và \(\Delta CDD'\) có:

\(DD'\) chung;

\(AD = CD\,\,\left( {gt} \right)\);

\( \Rightarrow {\Delta _v}ADD' = {\Delta _v}CDD'\) (Cạnh huyền – cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow D'A = D'C \Rightarrow \Delta D'AC\) cân tại \(D'\).

\( \Rightarrow D'O \bot AC\).

Đặt cạnh hình vuông \(ABCD\) là \(x\) ta có: \(AC = BD = x\sqrt 2 \).

\({S_{ACD'}} = \dfrac{1}{2}D'O.AC\) \( \Leftrightarrow D'O = \dfrac{{2{S_{ACD'}}}}{{AC}}\)\( = \dfrac{{{a^2}\sqrt 5 }}{{x\sqrt 2 }}\).

\(BD = x\sqrt 2  \Rightarrow DO = \dfrac{{x\sqrt 2 }}{2}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ODD'\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,D'{O^2} = D{O^2} + DD{'^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{{a^2}\sqrt 5 }}{{x\sqrt 2 }}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{x\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} + {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{5{a^4}}}{{2{x^2}}} = \dfrac{{{x^2}}}{2} + 2{a^2}\\ \Leftrightarrow 5{a^4} = {x^4} + 4{a^2}{x^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = x\\a =  - \dfrac{1}{5}x\,\,\left( {loai} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow x = a \Rightarrow {S_{ABCD}} = {a^2}\).

Vậy \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {a^3}\sqrt 2 \).

Chọn A.