Khối chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chứng minh \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\), H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Sử dụng công thức: \(S = {{abc} \over {4R}} \Rightarrow R = {{AB.AC.BC} \over {4{S_{\Delta ABC}}}} = {{AB.AC.BC} \over {2BO.AC}}\)

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy: \(a.b \le {{{a^2} + {b^2}} \over 2}\)

Giải chi tiết:

Gọi O là tâm của hình thoi ABCD, H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC mà \(SA = SB = SC\,\, \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)

Đặt \(AC = 2x\) , khi đó \({S_{ABCD}} = AC.BD = 2.x.\sqrt {{a^2} - {x^2}} \)

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp \({\Delta _{ABC}}\)

Công thức \(S = {{abc} \over {4R}} \Rightarrow R = {{AB.AC.BC} \over {4{S_{\Delta ABC}}}} = {{AB.AC.BC} \over {2BO.AC}} = {{{a^2}} \over {2\sqrt {{a^2} - {x^2}} }} = BH\)         

\({\Delta _{SBH}}:SH = \sqrt {S{B^2} - H{B^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{{a^4}} \over {4\left( {{a^2} - {x^2}} \right)}}}  = {{a\sqrt {3{a^2} - 4{x^2}} } \over {2\sqrt {{a^2} - {x^2}} }} \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = {1 \over 3}.SH.{S_{ABCD}} = {1 \over 3}2xa\sqrt {3{a^2} - 4{x^2}} \)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có : \(2x.\sqrt {3{a^2} - 4{x^2}}  \le {{4{x^2} + 3{a^2} - 4{x^2}} \over 2} = {{3{a^2}} \over 2} \Rightarrow {V_{S.ABCD}} \le {{{a^3}} \over 2}\)

Chọn D.