Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn \(\sqrt{...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số thực a, b dương: \(a+b\ge 2\sqrt{ab.}\) 

Giải chi tiết:

Ta có: \(\sqrt{3{{a}^{2}}+2ab+3{{b}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a-b \right)}^{2}}+2{{\left( a+b \right)}^{2}}}\ge \sqrt{2{{\left( a+b \right)}^{2}}}=\left( a+b \right)\sqrt{2}\)

Tương tự \(\begin{align}  & \sqrt{3{{b}^{2}}+2bc+3{{c}^{2}}}\ge \left( b+c \right)\sqrt{2} \\  & \sqrt{3{{c}^{2}}+2ca+3{{a}^{2}}}\ge \left( c+a \right)\sqrt{2} \\ \end{align}\)

Suy ra \(P\ge 2\sqrt{2}\left( b+b+c \right)\)

Áp dụng BĐT Cô si ta có:

\(a+b+c=\left( a+1 \right)+\left( b+1 \right)+\left( c+1 \right)-3\ge 2\sqrt{a}+2\sqrt{b}+2\sqrt{c}-3=2.3-3=3\)

Vậy \(P\ge 6\sqrt{2}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{align}  & a=b,b=c,c=a \\  & \sqrt{a}=1,\sqrt{b}=1,\sqrt{c}=1\Rightarrow a=b=c=1 \\  & \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3 \\ \end{align} \right.\)

Chọn C