Cho tam giác đều \(ABC\) tâm \(O\) có cạnh bằng \(...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

 Hình hoa thị gồm 6 hình viên phân bằng nhau. Do đó, cần tìm diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung \(\overset\frown{AO}\) và đoạn AO.

Giải chi tiết:

Giả sử AH là đường cao của tam giác ABC, ta có:

\(AH=AB.\sin {{60}^{0}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)

Vì O là tâm của tam giác đều ABC nên O đồng thời là

trọng tâm, trực tâm… của tam giác nên ta có:

\(AO=\frac{2}{3}AH=\frac{2}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{3}a\)

 Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.

Tam giác ABC là tam giác đều nên ta có:

\(\left\{ \begin{align}  & OI=OB \\  & \widehat{OAB}=\widehat{OBA}={{30}^{0}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \widehat{AOB}={{120}^{0}}.\)

Lại OI là đường trung trực của AB do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABO.

\(\Rightarrow AIBO\) là hình thoi \(\Rightarrow BA\) là phân giác của \(\widehat{IAO}\Rightarrow \widehat{IAO}=2.\widehat{BAO}={{2.30}^{0}}={{60}^{0}}\).

\(\Rightarrow \Delta AIO\) là tam giác đều cạnh \(AO=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \widehat{AIO}={{60}^{0}}.\)

\(\Rightarrow {{S}_{AIO}}=\frac{\sqrt{3}}{4}{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{12}.\)

Ta có: \({{S}_{quat\ IAO}}=\frac{\pi I{{O}^{2}}{{.60}^{0}}}{{{360}^{0}}}=\frac{\pi }{6}.{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}=\frac{\pi {{a}^{2}}}{18}.\)

\(\Rightarrow {{S}_{vp\ AO}}={{S}_{q\ \ IAO}}-{{S}_{\Delta AIO}}=\frac{\pi {{a}^{2}}}{18}-\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{12}=\frac{2\pi -3\sqrt{3}}{36}{{a}^{2}}.\)

Với \(a=\sqrt{6}\Rightarrow {{S}_{vp\ AO}}=\frac{2\pi -3\sqrt{3}}{36}{{\left( \sqrt{6} \right)}^{2}}=\frac{2\pi -3\sqrt{3}}{6}.\)

Diện tích hình hoa thị cần tính là: \(S=6{{S}_{vp\ OA}}=6.\frac{2\pi -3\sqrt{3}}{6}=2\pi -3\sqrt{3}\ \ \left( dvdt \right).\)

Chọn D