Cho biểu thức: \(P = \left( {\frac{{3x + \sqrt {9x...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Tìm điều kiện của $x$ để $P$ xác định.

Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn biểu thức đã cho.

b) Biến đổi $x = 4 - 2\sqrt 3 \,\,\left( {tm} \right)$ rồi thay vào biểu thức, tính giá trị của biểu thức $P.$

c) Để $\frac{1}{P}$ là số tự nhiên thì $P = 1.$ Giải phương trình, tìm $x$ rồi kết luận nghiệm.

Giải chi tiết:

a) Tìm điều kiện xác định của $P$  và rút gọn $P.$

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x + \sqrt x  - 2 \ne 0\\x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right) \ne 0\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\end{array} \right..$

$\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{3x + \sqrt {9x}  - 3}}{{x + \sqrt x  - 2}} + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}} - 2} \right):\frac{1}{{x - 1}}\\ = \left( {\frac{{3x + 3\sqrt x  - 3}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}} - 2} \right).\left( {x - 1} \right)\\ = \frac{{3x + 3\sqrt x  - 3 + \sqrt x  + 2 + \sqrt x  - 1 - 2\left( {x + \sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}.\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)\\ = \frac{{3x + 5\sqrt x  - 2 - 2x - 2\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  + 2}}.\left( {\sqrt x  + 1} \right)\\ = \frac{{x + 3\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 2}}.\left( {\sqrt x  + 1} \right)\\ = \frac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\sqrt x  + 2}}.\left( {\sqrt x  + 1} \right)\\ = {\left( {\sqrt x  + 1} \right)^2}.\end{array}$

b) Tính giá trị của $P$  khi $x = 4 - 2\sqrt 3 .$

Điều kiện: $x \ge 0,\,\,x \ne 1.$

Ta có: $x = 4 - 2\sqrt 3  = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} - 2.\sqrt 3 .1 + 1 = {\left( {\sqrt 3  - 1} \right)^2}.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt x  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}^2}}  = \left| {\sqrt 3  - 1} \right| = \sqrt 3  - 1.\\ \Rightarrow P = {\left( {\sqrt 3  - 1 + 1} \right)^2} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 3.\end{array}$

Vậy với $x = 4 - 2\sqrt 3$ thì $P = 3.$

c) Tìm các số tự nhiên $x$  để $\frac{1}{P}$ là một số tự nhiên.

Điều kiện: $x \ge 0,\,\,x \ne 1.$

Ta có: $\frac{1}{P} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}.$

Ta thấy với $\forall x \ge 0\,\, \Rightarrow 0 < \frac{1}{P} \le 1 \Rightarrow \frac{1}{P} = 1\,\,\,\,\left( {do\,\,\frac{1}{P} \in \mathbb{N}} \right).$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {\sqrt x  + 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \sqrt x  + 1 = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt x  = 0 \Leftrightarrow x = 0\,\,\left( {tm} \right)\end{array}$

Vậy $x = 0$  thì $\frac{1}{P}$ là số tự nhiên.