Phương trình đường thẳng song song với đường thẳn...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Lập phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \({{d}_{1}}\) và song song với \(d\).

+) Lập phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa \({{d}_{2}}\) và song song với \(d\).

+) Khi đó đường thẳng \(\Delta \) cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

Giải chi tiết:

Ta có:

\(d\) đi qua \(M\left( 1;-2;0 \right)\) và có VTCP là:

\(\overrightarrow{u}=\left( 1;\ 1;-1 \right)\).

\({{d}_{1}}\) đi qua \({{M}_{1}}\left( -1;-1;2 \right)\) và có VTCP là: \(\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 2;\ 1;-1 \right)\).

\({{d}_{2}}\) đi qua \({{M}_{2}}\left( 1;2;3 \right)\) và có VTCP là: \(\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( -1;\ 1;\ 3 \right)\).

+) Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa \({{d}_{1}}\) và song song với \(d\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {{u_1}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{array}{l}
1\\
1
\end{array}&\begin{array}{l}
- 1\\
- 1
\end{array}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{array}{l}
- 1\\
- 1
\end{array}&\begin{array}{l}
1\\
2
\end{array}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{array}{l}
1\\
2
\end{array}&\begin{array}{l}
1\\
1
\end{array}
\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;\; - 1; - 1} \right) = - \left( {0;\;1;\;1} \right).\)

Phương trình (P) đi qua \({{M}_{1}}\left( -1;-1;2 \right)\) và có VTPT \(\overrightarrow{{{n}_{p}}}=\left( 0;\ 1;\ 1 \right):\)

\(y+1+z-2=0\Leftrightarrow y+z-1=0.\)

+) Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa \({{d}_{2}}\) và song song với \(d\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{array}{l}
1\\
1
\end{array}&\begin{array}{l}
- 1\\
3
\end{array}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{array}{l}
- 1\\
3
\end{array}&\begin{array}{l}
1\\
- 1
\end{array}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{array}{l}
1\\
- 1
\end{array}&\begin{array}{l}
1\\
1
\end{array}
\end{array}} \right|} \right) = \left( {4;\; - 2;2} \right) = 2\left( {2;\; - 1;\;1} \right).\)

Phương trình (Q) đi qua \({{M}_{2}}\left( 1;2;3 \right)\) và có VTPT \(\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( 2;\ -1;\ 1 \right):\)

\(2\left( x-1 \right)-\left( y-2 \right)+z-3=0\Leftrightarrow 2x-y+z-3=0.\)

+) Đường thẳng\(\Delta \) cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\): \(\left\{ \begin{align} & y+z-1=0 \\ & 2x-y+z-3=0 \\ \end{align} \right..\)

Ta có:

\(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{array}{l}
1\\
- 1
\end{array}&\begin{array}{l}
1\\
1
\end{array}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{array}{l}
1\\
1
\end{array}&\begin{array}{l}
0\\
2
\end{array}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{array}{l}
0\\
2
\end{array}&\begin{array}{l}
1\\
- 1
\end{array}
\end{array}} \right|} \right) = \left( {  2;\;2;\; - 2} \right) = 2\left( {1;\, 1;-1} \right).\)

Chọn \(y=0\Rightarrow z=1\Rightarrow x=1\Rightarrow A\left( 1;\ 0;\ 1 \right).\)

\(\Delta \) đi qua \(A\left( 1;\ 0;\ 1 \right)\) và có VTCP: \(\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;1;-1 \right)\) có phương trình: \(\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}.\)

Chọn B.