\(F\left( x \right)\) là một nguy...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Ta có: \(F\left( x \right)\)  là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\Rightarrow F'\left( x \right)=f\left( x \right)\,\,hay\,\,\,\int{f\left( x \right)dx=F\left( x \right).}\)

+) Tìm nguyên hàm của hàm \(f\left( x \right)\) bằng phương pháp tích phân từng phần sau đó thay giá trị \(F\left( 1 \right)=3\) để tìm hàng số C.

+) Thay giá trị \(x=e\) vào hàm \(F\left( x \right)\) vừa tìm được để tính \(F\left( e \right).\)

Giải chi tiết:

Theo đề bài ta có: \(F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)dx}=\int{\ln xdx}.\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{x}dx\\v = x\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow F\left( x \right)=\int{\ln xdx}=x\ln x-\int{x.\frac{1}{x}dx=x\ln x-\int{dx}=x\ln x-x+C.}\)

Theo đề bài ta có: \(F\left( 1 \right)=3\Rightarrow 1.\ln \,\,1-1+C=3\Leftrightarrow C=4.\)

\(\begin{align}  & \Rightarrow F\left( x \right)=x\ln x-x+4 \\  & \Rightarrow F\left( e \right)=e\ln e-e+4=4. \\ \end{align}\) 

Chọn C.