Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạn...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Kẻ \(BH\bot SC\), chứng minh \(\widehat{\left( \left( SBC \right);\left( SCD \right) \right)}=\widehat{\left( BH;DH \right)}\)

+) Chia 2 trường hợp: \(\left[ \begin{align}  \widehat{BHD}={{60}^{0}} \\  \widehat{BHD}={{120}^{0}} \\ \end{align} \right.\)

Giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{align}  BD\bot SA \\  BD\bot AC \\ \end{align} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BD\bot SC\)

Trong (SBC) kẻ \(BH\bot SC\Rightarrow SC\bot \left( BDH \right)\Rightarrow DH\bot SC\)

Ta có:

 \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SC\\\left( {SBC} \right) \supset BH \bot SC\\\left( {SCD} \right) \supset DH \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {SCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {BH;DH} \right)} = {60^0}\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\widehat {BHD} = {60^0}\\\widehat {BHD} = {120^0}\end{array} \right.\end{array}\)

Có: \(\left\{ \begin{align}   BC\bot AB \\   BC\bot SA \\ \end{align} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SB\Rightarrow \Delta SBC\) vuông tại B, tương tự ta chứng minh được tam giác SCD vuông tại D.

Dễ thấy \(\Delta SAB=\Delta SAD\left( c.g.c \right)\Rightarrow SB=SD\Rightarrow \Delta SBC=\Delta SDC\left( c.c.c \right)\)

\(\Rightarrow BH=DH\Rightarrow \Delta BDH\) cân tại H.

Đặt SA = x ta có: \(SB=\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}\Rightarrow B{{H}^{2}}=\frac{S{{B}^{2}}.B{{C}^{2}}}{S{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\frac{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right){{a}^{2}}}{{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}}=D{{H}^{2}}\), ABCD là hình vuông cạnh a \(\Rightarrow BD=a\sqrt{2}\Rightarrow BO=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

TH1 : \(\widehat{BHD}={{60}^{0}}\Rightarrow \widehat{BHO}={{30}^{0}}\), xét tam giác vuông BHO có

\(\begin{align}   \frac{BO}{BH}=\sin {{30}^{0}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{B{{O}^{2}}}{B{{H}^{2}}}=\frac{1}{4} \\   \Leftrightarrow \frac{\frac{{{a}^{2}}}{2}}{\frac{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right){{a}^{2}}}{{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}}}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow \frac{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}{{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}}=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{a}^{2}}=2{{x}^{2}}+4{{a}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=-3{{a}^{2}}\,\,\left( vo\,ly \right) \\ \end{align}\)

TH2 : \(\widehat{BHD}={{120}^{0}}\Rightarrow \widehat{BHO}={{60}^{0}}\), xét tam giác vuông BHO có

\(\begin{align}  \frac{BO}{BH}=\sin {{60}^{0}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \frac{B{{O}^{2}}}{B{{H}^{2}}}=\frac{3}{4} \\   \Leftrightarrow \frac{\frac{{{a}^{2}}}{2}}{\frac{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right){{a}^{2}}}{{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}}}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow \frac{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}{{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+3{{a}^{2}}=2{{x}^{2}}+4{{a}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}={{a}^{2}}\Leftrightarrow x=a \\ \end{align}\)

Chọn A.