Trong không gian với hẹ tọa độ Oxyz cho 2...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- CMR: Nếu điểm M thay đổi sao cho \(MA = 2MB\) (A, B là 2 điểm cố định) thì M di chuyển trên 1 mặt cầu cố định.

- Xác định vị trí của M trên mặt cầu để M cách mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y - z + 6 = 0\) đạt giá trị nhỏ nhất, tính khoảng cách nhỏ nhất đó.

Giải chi tiết:

Giả sử \(M({x_0};{y_0};{z_0})\), thỏa mãn: \(MA = 2MB\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\Rightarrow \sqrt {{{({x_0} - 1)}^2} + {{({y_0} - 2)}^2} + {{({z_0} - 3)}^2}} = 2\sqrt {{x_0}^2 + {{({y_0} - 4)}^2} + {{({z_0} - 5)}^2}} \\
\Leftrightarrow 3{x_0}^2 + 2{x_0} + 3{y_0}^2 - 28{y_0} + 3{z_0}^2 - 34{z_0} + 150 = 0
\end{array}\\
\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {x_0}^2 + \frac{2}{3}{x_0} + {y_0}^2 - \frac{{28}}{3}{y_0} + {z_0}^2 - \frac{{34}}{3}{z_0} + 50 = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {{x_0} + \frac{1}{3}} \right)^2} + {\left( {{y_0} - \frac{{14}}{3}} \right)^2} + {\left( {{z_0} - \frac{{17}}{3}} \right)^2} = 4
\end{array}
\end{array}\)

\( \Rightarrow \)M di chuyển trên mặt cầu (S) tâm \(I\left( { - \frac{1}{3};\frac{{14}}{3};\frac{{17}}{3}} \right)\), bán kính R = 2.

\(d\left( {I;(P)} \right) = \frac{{29}}{9} > R \Rightarrow \) (S) và (P) rời nhau.

Khoảng cách từ M đến mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y - z + 6 = 0\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng: \(d\left( {I;(P)} \right) - R = \frac{{11}}{9}\)

Chọn: A