Cho hình thang vuông ABCD, đường cao \(AB = 2a\),...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Sử dụng công thức ba điểm và tính chất: Hai vectơ có giá vuông góc thì có tích vô hướng bằng 0.

Sử dụng công thức \(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \widehat {\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)}\).

2) Tính \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BD} \), chứng minh \(AI \bot BD\).

Giải chi tiết:

1) Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AD} } \right)\\ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \\ = 0 - A{B^2} + 0 =  - {\left( {2a} \right)^2} =  - 4{a^2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {BC}  = \left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AD} } \right).\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} \\ = 0 + AD.BC.\cos \left( {\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {BC} } \right) = a.3a.\cos 0^\circ  = 3{a^2}\end{array}\)

2) Gọi J là trung điểm của AB \( \Rightarrow IJ\) là đường trung bình của hình thang ABCD

\( \Rightarrow IJ = \frac{{AD + BC}}{2} = \frac{{a + 3a}}{2} = 2a\) và \(IJ \bot AB\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BD}  = \left( {\overrightarrow {AJ}  + \overrightarrow {JI} } \right).\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AD} } \right)\\ = \overrightarrow {AJ} .\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {JI} .\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AJ} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {JI} .\overrightarrow {AD} \\ =  - \frac{1}{2}.{\left( {\overrightarrow {AB} } \right)^2} + 0 + 0 + JI.AD.\cos 0^\circ \\ =  - \frac{1}{2}.{\left( {2a} \right)^2} + 2a.a.1 = 0\\ \Rightarrow AI \bot BD \Rightarrow \left( {\widehat {AI;BD}} \right) = 90^\circ \end{array}\)